Per stabilire le trasformazioni di Lorentz, consideriamo un osservatore O che si serve delle coordinate cartesiane ortogonali spaziali x y z e della coordinata temporale t. La luce che emana dall'origine nell'istante t=0 si propaghi rispetto a lui con velocità costante c, per onde sferiche d'equazione Consideriamo un altro osservatore O' e diciamo x' y' z' le coordinate cartesiane ortogonali spaziali e t' la coordinata temporale di cui egli si vale. L'osservatore O' si muova di moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto ad O, con velicità u orientata come la comune direzione degli assi x e x'. Supponiamo altresì che quando t=0 sia anche t'=0 e i due osservatori coincidano. La luce che emana dalla comune origine nell'istante t=t'=0 si propaga anche rispetto ad O' con la medesima velocità c di prima, per onde sferiche d'equazione Una trasformazione di Lorentz permette di passare dalla quaterna di variabili x y z t alla quaterna x' y' z' t' in modo da lasciare invariata in valore e in forma l'espressione quadratica c²t²-(x²+y²+z²) e con essa la propagazione della luce. Risulta quindi: Poichè evidentemente y'=y e z'=z la condizione atta ad individuare la trasformazione di Lorentz si riduce alla seguente: Posto ix=ξ, ix'=ξ', ct=η, ct'=η', la relazione precedente si scrive: e a questa si soddisfa nel modo più generale passando dalle coordinate cartesiane ortogonali ξ ed η di un piano alle coordinate pure cartesiane ortogonali ξ' ed ξ' dello stesso piano con una semplice rotazione θ degli assi cartesiani nel loro piano. Si ha perciò: D'altra parte, se un punto è fisso rispetto all'osservatore O, la sua velocità rispetto all'osservatore O' sarà diretta come l'asse x' ed avrà componente secondo quest'asse eguale a -u. Dunque, se dx/dt=0, deve risultare dx'/dt'=-u, ossia, se dξ/dη=0, deve risultare dξ'/dη'=-iu/c. Ma, differenziando le formule precedentemente stabilite, si ottiene: e quindi si deve avere: Ne segue: La trasformazione di Lorentz cercata ha dunque la seguente forma: ossia, in definitiva: : Indietro. :