Matematica LIMITI - WEIERSTRASS

La parola “limite” è suggestiva, ha un significato intuitivo e spesso nel linguaggio comune parliamo dei limiti della nostra pazienza o della nostra resistenza. Tuttavia quando cerchiamo di precisare maggiormente questo concetto, di renderlo logicamente definito, sorgono subito delle difficoltà. Una della idee chiave in tutta l’analisi matematica è quella di “limite” . Sotto una forma o un’altra , sia il calcolo differenziale che il calcolo integrale (per non parlare della continuità delle funzioni ) sono fondati su questo concetto. Newton aveva fatto un tentativo. La sua definizione richiedeva di considerare il rapporto di due quantità e di determinare quindi ciò che accadeva a questo rapporto quando le due quantità tendevano simultaneamente a zero. Usando la terminologia moderna, egli stava parlando del limite del rapporto di quelle quantità anche se preferiva il termine più colorito di ultima ratio (ratio è la parola latina per” rapporto”). Newton spiegava che l’ultima ratio di due quantità evanescenti:

è da intendersi il rapporto delle quantità non prima che esse svaniscono, né dopo che sono svanite, ma con il quale esse svaniscono

Naturalmente una frase del genere non è di nessun aiuto per una precisa definizione matematica del concetto. Possiamo essere d’accordo con Newton che il limite non deve essere legato al valore del rapporto prima che le quantità svaniscano, ma che cosa diavolo significa il rapporto dopo che sono svanite? Newton sembra voler dire che bisogna considerare il rapporto nel preciso istante cui il numeratore e denominatore diventano zero. Ma in quell’istante la frazione si presenta come 0/0, che non ha alcun significato. Siamo in una impasse logica. Vediamo ora il contributo di Leibniz. Anche lui doveva considerare il comportamento dei limiti e tendeva ad affrontare la questione con la discussione delle “quantità infinitamente piccole”. Con ciò egli intendeva delle quantità che , per quanto non nulle non potevano essere ulteriormente diminuite. Come gli atomi della chimica , le sue quantità infinitamente piccole erano i mattoni, le unità indivisibili che costituivano la matematica, le cose più vicine allo zero che ci fossero. I problemi filosofici sollevati da un’unità del genere preoccupavano Leibniz .
La comunità matematica, a poco a poco, prese coscienza del fatto che doveva occuparsi del problema. Paradossalmente a questa situazione si era arrivati non perché il calcolo non funzionava, ma perché funzionava troppo bene. Troviamo così una schiera di matematici, all’inizio dell’Ottocento, occupati a esaminare la questione dei fondamenti. La precisazione del concetto di “limite” era uno dei problemi cruciali.
Nel 1821 il francese Augustin-Louis Cauchy propose questa definizione:

Allorché i valori successivamente assunti da una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato in modo da differirne alla fine tanto poco quanto si vorrà quest’ultima quantità è chiamata il limite di tutte le altre.

Si noti che la definizione di Cauchy evita accuratamente termini imprecisi come “infinitamente piccolo”. Non si avventura nella trappola di determinare ciò che succede nel preciso istante in cui la variabile raggiunge il limite. Qui, insomma non ci sono fantasmi di quantità svanite. Egli dice semplicemente che un certo valore è il limite di una variabile se possiamo fare in modo che la variabile differisca dal limite tanto poco quanto vogliamo. Tutto quello che importa è la possibilità di arrivare tanto vicino al limite quanto si vuole.
Il successo della definizione si basò in larga misura sul fatto che per suo tramite Cauchy riuscì a dimostrare i più importanti teoremi dell’analisi. I matematici avevano così fatto molta strada per liberarsi dal sarcasmo del vescovo Berkeley . Ma anche l’asserzione di Cauchy aveva bisogno di essere messa a punto. Intanto essa parlava di “avvicinamento” di una variabile al limite. Così l’ultima parola nell’opera di consolidamento delle fondamenta dell’analisi matematica (un processo che va sotto il nome di “aritmetica dell’analisi” ) la scrissero il matematico tedesco Karl Weierstrass e i suoi allievi. Per la scuola di Weierstrass dire che “L è il limite della funzione f(x) quando x tende ad a” significa precisamente:
per ogni E/O, esiste un &/0 tale che,
se 0

Non c’è bisogno di capire fino in fondo questa definizione per riconoscere che è ben diversa da quella di Cauchy , anche se la sostanza del concetto espresso è la stessa . E’ una definizione quasi totalmente simbolica e in nessun passaggio richiede quantità che “si avvicinano” ad altre.
In breve, è una definizione statica del limite. L’austera definizione di Weierstrass manca forse del fascino di quelle dei suoi predecessori , ma è logicamente e matematicamente ben fondata. Su queste fondamenta , Weierstrass costruì l’edificio dell’analisi matematica che resiste ancora ai nostri giorni.