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PI GRECO "Il numero pi greco, correttamente interpretato, contiene l’intera storia dell’umanità." Martin Gardner "Esplorare pi greco è come esplorare l'universo." David Chudnovsky CHE COSA E' ? , costante matematica, è un numero irrazionale (non può cioè essere scritto come quoziente di due interi) e trascendente (ovvero non è un numero algebrico). Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o razionali di cui è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro radici. Prima definizione geometrica di In uno spazio euclideo , è il rapporto tra la circonferenza C di un cerchio e il suo diametro d (che corrisponde al doppio del raggio r), qualunque sia la grandezza del cerchio considerato. Ovvero: è quindi la misura in metri della circonferenza di un cerchio il cui diametro è lungo 1 metro.
Seconda definizione geometrica di In uno spazio euclideo, p è il rapporto tra la superficie di un cerchio e il quadrato del suo raggio. Ovvero: Qundi, è la superficie in metri quadrati di un cerchio di raggio 1 metro. Altre definizioni geometriche di Dalle prime due definizioni di ricava che: • Dato dove V è il volume di una sfera di raggio r, =3/4 del volume di una sfera di raggio 1. • Dato , dove S è la superficie di una sfera di raggio r, =1/4 della superficie di una sfera di raggio 1. COME TROVARE Il metodo Montecarlo Se si traccia un cerchio inscritto esattamente in un quadrato e si lanciano delle freccette sul bersaglio, tra quelle che toccano il bersaglio una quantità pari a /4 si troverà nel cerchio. Lanciando una grande quantità di freccette, si troverà quandi un’approssimazione di /4 e quindi anche di p. Simulazione: http://polymer.bu.edu/java/java/montepi/MontePi.html Gli aghi di Buffon Se si lanciano aghi di lunghezza a su un parquet le cui assi hanno larghezza b, la probabilità che un ago tagli il bordo di un asse è uguale a 2a/b . Simulazione 1: http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html Simulazione 2: http://www.efg2.com/Lab/Mathematics/Buffon.htm STORIA DI Il simbolo "" per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 da William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics. La notazione diventò standard dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi p è la prima lettera di perimetros, che significa 'misura attorno' in greco. http://www.valdosta.edu/~cbarnbau/math_demos_folder/menu_circle.htm Cronologia di : • 20º secolo AC: i Babilonesi usavano 3+1/8 per p • 20º secolo AC: gli Egizi (Papiro di Rhind) usano p = (16/9)2 • 12º secolo AC: i Cinesi usano 3 per p • 434 AC: Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso • 3º secolo AC: Archimede scopre che 223/71 < p < 22/7, e trova inoltre l'approssimazione p = 211875/67441. • 20 AC: Vitruvio usa 25/8. • Bibbia: p=3 (Antico Testamento). • 2º secolo: Tolomeo usa p = 377/120. • 3º secolo: Chang Hong usa p = v10, Wang Fau usa p = 142/45 e Liu Hui usa p = 471/150. • 5º secolo: Zu Chongzhi scopre che 3.1415926 < p < 3.1415927. • 6º secolo: Aryabhatta e Brahmagupta, in India, usano rispettivamente il valore 62832/20000 e v 10. • 9º secolo: Al Khwarizmi usa 3.1416. • 1220: Fibonacci usa il valore 3.141818. • 1430: Al Kashi calcola le prime 14 cifre di p. • 1573: Valenthus Otho calcola le prime 6 cifre di p. • 1593: François Vieta calcola 9 cifre di p e Dutch Adriaen van Roomen 15 cifre. • 1596: Ludolph van Ceulen calcola 35 cifre di p. • 1665: Isaac Newton, 16 cifre. • 1699: Sharp, 71 cifre. • 1700: Seki Kowa, 10 cifre. • 1730: Kamata, 25 cifre. • 1706: Machin, 100 cifre. • 1719: De Lagny calcola 127 cifre, di cui 112 sono corrette. • 1723: Takebe, 41 cifre. • 1734: Adottato da Eulero, l'uso del simbolo p si diffonde. • 1739: Matsunaga, 50 cifre. • 1761: Johann Heinrich Lambert prova che p è un numero irrazionale. • 1775: Eulero ipotizza che p possa essere trascendente. • 1794: von Vega, 140 cifre, di cui 136 sono corrette. • 1794: Adrien-Marie Legendre dimostra che p2 (e quindi p) è irrazionale, e considera la possibilità che p sia trascendente. • 1824: Rutherford calcola 208 cifre, di cui 152 sono corrette. • 1844: Strassnitzky calcola fino a 200 cifre. • 1847: Thomas Clausen, 248 cifre. • 1853: Lehmann, 261 cifre. • 1853: Rutherford, 440 cifre. • 1855: Richter, 500 cifre. • 1874: Shanks, 707 cifre, di cui 527 sono corrette. • 1882: Ferdinand von Lindemann dimostra che p è trascendente. • 1999: Kanada e Takahashi, 206.158.430.000 cifre (record più recente). http://www.matematicamente.it/approfondimenti/Pigreco_nepero.pdf FORMULE CHE RIGUARDANO Geometria • La circonferenza di un cerchio o di una sfera di raggio r: C = 2r • L'area di un cerchio di raggio r: A = r2 • L'area di un'ellisse di semiassi a e b: A = b • Il volume di una sfera di raggio r: V = (4/3) r3 • La superficie di una sfera di raggio r: A = 4 r2 • Il volume di un cilindro di altezza h e raggio r: V = ( r2 ) h • L'area della superficie di un cilindro di altezza h e raggio r: A = ([ r2] 2 ) + ([2 r] h ) • Angoli: 180 gradi equivalgono a radianti Analisi
• Formula di Leibniz: |
• Prodotto di Wallis: |
• Il problema di Basel: |
• La funzione di Riemann: |
• L'identità di Eulero: |
• rappresentazione come funzione continua: |
• Formula di Brouncker: |
Teoria dei numeri • La probabilità che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di 6/^2 • Il numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due quadrati perfetti è /4. • Il numero di primi presenti nell'intervallo compreso tra 0 e n è denotato con (n) Fisica
• Equazione di campo di Einstein della relatività generale: |
• Forza di Coulomb: |
CURIOSITA' SU Come ricordare ? Il metodo più diffuso per ricordare le cifre di è quello di memorizzare frasi o filastrocche che permettono di ricordare a memoria un certo numero di cifre di , attraverso il seguente schema: una parola di N lettere rappresenta la cifra N se N<10, la cifra 0 se N=10 e le due cifre adiacenti se N>10 (ad esempio una parola di 12 lettere rappresenta le cifre 1 e 2). La più famosa è quella di Mike Keith, che ricalca "The Raven" di Poe, riportata all’indirizzo http://users.aol.com/s6sj7gt/mikerav.htm. La musica e È possibile convertire la successione delle cifre del pi greco in sequenze musicali, associando ad ogni nota una cifra. http://www.avoision.com/experiments/pi10k/pi10k.html Il compleanno in L’idea che si possa trovare qualsiasi combinazione di cifre nei decimali di ha portato alla costruzione di programmi che trovano la data del compleanno, il numero di telefono, o una parola qualsiasi (attraverso l’associazione ad ogni lettera un numero corrispondente alla posizione in ordine alfabetico). Esempio: http://www.itccarli.it/Matematica/carlpigr.php La festa di Pi Greco: il Pi Day L'Exploratorium di San Francisco, il grande Museo della Scienza, da alcuni anni il 14 marzo celebra il pi greco con una serie di giochi, musiche, filmati ed altre iniziative tutte ispirate al pi greco. Gadget: http://www.mathematicianspictures.com/PI/PI-OF-THE-MONTH-CLUB.htm
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