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LE LEGGI DI MAXWELL TEORIA DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO DI MAXWELL Il grande fisico inglese James Clark Maxwell riassunse la descrizione di tutti i fenomeni elettromagnetici noti in sole 4 equazioni, apparse per la prima volta al completo in forma differenziale, in "A Treatise on Electricity and Magnetism", pubblicato nel 1873. Questa mirabile sintesi rappresenta una delle tappe più importanti del pensiero scientifico di tutti i tempi. La teoria di Maxwell è una teoria classica in quanto basata sui presupposti della meccanica classica (i concetti di punto materiale, di traiettoria continua ecc.) ma che presenta una assoluta novità rispetto alla meccanica classica: il concetto di campo. Nella meccanica classica i punti materiali interagiscono fra loro in modo istantaneo. Questo significa che un cambiamento di posizione di un punto materiale si ripercuote su tutti gli altri in modo istantaneo. Nella teoria di Maxwell, invece, un cambiamento di posizione di una carica elettrica si ripercuote sulle altre dopo un certo tempo. In altre parole, l' "informazione" che una carica si è spostata, "arriva" alle altre cariche dopo un certo tempo, non in maniera istantanea. "Qualcosa" è partito dalla carica che si è mossa e, viaggiando nello spazio, ha raggiunto dopo un certo tempo le altre cariche. Questo "qualcosa" è il campo elettromagnetico che, attraverso le onde elettromagnetiche, si è propagato nello spazio ed ha raggiunto le altre cariche. Il campo elettromagnetico è quindi qualcosa di fisico, reale. E' una nuova entità, da aggiungere ai punti materiali, nella descrizione della natura. Questa è la grande novità insita nella teoria di Maxwell ed assente nella meccanica classica. Il campo elettromagnetico si propaga nello spazio in forma di onde che viaggiano alla velocità della luce (la luce è appunto una forma di radiazione elettromagnetica, quella che siamo in grado di "vedere") che vale c = 300.000 km/s circa. Nel grafico, una carica elettrica Q oscillando genera un campo elettromagnetico che raggiunge il punto P dopo un certo tempo dovuto alla velocità di propagazione del medesimo (onda elettromagnetica) pari a c (nel vuoto). La velocità con cui "viaggia" il campo elettromagnetico è enorme ed è per questo che Galileo e Newton considerarono istantanee le propagazioni delle interazioni, in accordo del resto con il "senso comune". Il campo elettromagnetico è descritto matematicamente da due vettori: il vettore E, detto vettore campo elettrico, ed il vettore B, detto vettore campo magnetico. I vettori E ed B si "dispongono" poi lungo le cosiddette linee di forza ponendosi in ogni punto tangenti ad esse. Le linee di forza sono linee geometriche immaginarie ed in numero infinito. Per convenzione, però, possiamo supporre che esse siano in numero finito tanto maggiore quanto più è intenso il campo (elettrico o magnetico). Il campo elettromagnetico, nelle sue due componenti elettrica e magnetica, come già affermato, è creato però solo dalle cariche elettriche, che possono essere positive o negative e che sono trasportate dagli elettroni (le negative) e dai protoni (le positive) oltre che da altre particelle subatomiche cariche. Nell'immagine che segue, abbiamo il campo elettrico creato da una carica Q immobile: Le sue linee di forza sono rette che partono dal punto in cui è posta la carica ed il vettore campo elettrico E è posto lungo le linee di forza stesse in tutti i loro punti. L'intensità del vettore campo elettrico è maggiore quando ci si avvicina al centro e minore quando ci si allontana. Anche il campo magnetico è prodotto dalle cariche elettriche! Non esiste quindi la carica magnetica (anche se na recente teoria quantistica sul magnetismo, non ancora dimostrata, prevede l'esistenza del monopolo magnetico). Le 4 equazioni di Maxwell descrivono i fenomeni elettromagnetici esprimendo le relazioni matematiche che intercorrono fra i vettori E ed B. PRIMA EQUAZIONE DI MAXWELL Il flusso del vettore campo elettrico E attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica elettrica racchiusa dalla superficie divisa per la costante dielettrica del mezzo (legge di Gauss). dove la lettera greca ("fi") indica il flusso, S indica una superficie chiusa qualunque, E indica il vettore campo elettrico e Q indica la carica elettrica contenuta nella superficie stessa. Il flusso è un "oggetto matematico" che per il momento possiamo considerare uguale al numero di linee di forza che passano per la superficie in questione. Occorre però precisare che, se le linee di forza "escono" dalla superficie (in dipendenza dal verso del vettore che descrive il campo), il flusso è considerato positivo, mentre, se le linee di forza "entrano" nella superficie, il flusso è considerato negativo. La prima equazione di Maxwell afferma allora che il flusso del campo elettrico su una superficie chiusa qualunque non dipende dalla superficie scelta, ma solo dalla carica elettrica contenuta in essa. Ciò risulta chiaro dalla seguente immagine : Siccome il flusso rappresenta il numero delle linee di forza che intercettano una superficie, prendendo superficie chiuse diverse che contengono la stessa carica, questo numero di linee di forza ovviamente non cambia, quindi il flusso non cambia. SECONDA EQUAZIONE DI MAXWELL Il flusso del vettore induzione magnetica attraverso una superficie chiusa è nullo. dove B indica il vettore campo magnetico. La seconda equazione di Maxwell affermando che il flusso del campo magnetico è sempre nullo, esprime il fatto che in ogni superficie chiusa, il numero di linee di forza magnetiche che entrano eguaglia il numero di linee di forza magnetiche che escono. In altre parole, non esiste, al contrario di ciò che accade per il campo elettrico, una "origine" delle linee di forza, cioè non esiste la carica magnetica!!! Le linee di forza del campo magnetico, quindi, sono sempre chiuse. L'esperimento di spezzare un magnete a metà più volte, ottenendo così sempre una altro magnete, mostra proprio questo. Circuitazione Prima di continuare l'esposizione delle equazioni di Maxwell, è necessario imparare un altro concetto matematico, quello della circuitazione. Consideriamo una linea chiusa immersa in un campo descritto da un vettore, per esempio il campo elettrico. Qui abbiamo indicato il vettore campo elettrico E in alcuni punti della linea. Orbene, la circuitazione del vettore lungo la linea chiusa ha a che fare con il prodotto dell'intensità del vettore per la lunghezza della linea stessa. In altre parole, la circuitazione di un vettore lungo una linea chiusa esprime la possibilità di "percorrere", come dice la parola stessa, la linea chiusa, il circuito appunto, con il vettore che descrive il campo. TERZA EQUAZIONE DI MAXWELL La circuitazione del vettore campo elettrico E è uguale alla derivata del flusso, cambiato di segno, del vettore induzione magnetica attraverso la superficie delimitata dal contorno (legge di Faraday-Lenz). dove C indica la circuitazione, indica la variazione nell'unità di tempo e indica il flusso. Naturalmente, E indica il campo elettrico ed H indica il campo magnetico. Questa equazione descrive un fenomeno molto importante, detto induzione magnetica, che è alla base del funzionamento, per esempio, delle apparecchiature che generano elettricità quali la dinamo, l'alternatore ecc.. Immaginiamo una superficie aperta attraversata dalle linee di forza di un campo magnetico. Se questo campo magnetico non varia nel tempo, si ha un flusso magnetico costante e non vi è alcun effetto di induzione magnetica. Se, invece, il campo magnetico varia, il flusso magnetico sulla superficie in questione varia nel tempo e si ha l'induzione magnetica che consiste nel fatto che si genera un campo elettrico, altrimenti assente. Orbene, la circuitazione del campo elettrico così ottenuto lungo il bordo della superficie aperta, è proporzionale alla variazione nell'unità di tempo del flusso del campo magnetico sulla superficie in questione. Si noti che "la variazione nell'unità di tempo" di una grandezza qualunque significa che devo fare la differenza fra i valori che assume quella grandezza in due istanti diversi e devo dividere poi il risultato ottenuto per l'intervallo di tempo considerato. Per esempio, se una grandezza adesso vale 10 e fra 2 secondi vale 20 , la sua variazione nell'unità di tempo sarà (20 - 10) / 2 = 5 . Si noti anche che la variazione di flusso magnetico può essere ottenuta semplicemente movendo una calamita davanti ad una spira di rame. Il campo elettrico E che si genera per induzione magnetica, è "disposto" lungo la spira di rame ed è in grado di mettere in moto gli elettroni delle ultime orbite degli atomi di rame che sono (come per ogni metallo) praticamente liberi di muoversi. Si ottiene così una corrente elettrica a partire da un campo magnetico variabile. Si ha così che l'energia meccanica si trasforma in energia elettrica. QUARTA EQUAZIONE DI MAXWELL La circuitazione del vettore induzione magnetica è uguale al prodotto della permeabilità magnetica del mezzo per l'intensità di corrente concatenata con la linea (I) e la variazione del campo elettrico per epsilon. dove C indica la circuitazione,"fi" indica il flusso, I indica la corrente elettrica, E indica il campo elettrico ed B indica il campo magnetico. Questa equazione mostra che è possibile "creare" un campo magnetico oltre che variando il flusso del campo elettrico, anche con una corrente elettrica. Si hanno cioè due casi che possono essere anche compresenti. 1. Creazione del campo magnetico a causa della variazione del flusso elettrico, ovvero il fenomeno dell'induzione elettrica: 2. Campo magnetico creato da una corrente elettrica : Ricapitolando:
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