La curva di Ippia

Ippia di Elide ideò una curva mediante la quale è facile risolvere sia il problema della quadratura del cerchio che della trisezione dell'angolo generico. Resta ormai chiarito che attraverso il solo uso di riga e compasso non si riesce a rettificare la circonferenza e quindi a quadrare il cerchio. Se, oltre alle linee elementari (segmenti, circoli), consideriamo linee che non sono tali, cioè facciamo ricorso a curve di ordine superiore a due, tracciati eventualmente con strumenti non elementari, allora si riesce nell'intento di rettificare la circonferenza. E' interessante vedere, fra tante almeno una rettificazione di circonferenza ottenuta senza l'uso esclusivo della riga e del compasso.

Descrizione della curva

Consideriamo un quadrato abcd e facciamo ruotare uniformemente il lato CB attorno al vertice C, fino a portarsi su CD; contemporaneamente un moto uniforme  di traslazione al lato AB fino a portarsi sul lato CD stesso.Regoliamo i due moti in maniera tale che i segmenti detti portano contemporaneamente e giungano sempre contemporaneamente nella posizione finale.Si chiama curva di Ippia il luogo geometrico delle intersezioni dei due segmenti mobili, ottenute istante per istante. La curva è costruibile per punti mediante successive bisezioni del segmento BC e dell'angolo B'CD.

equazione della curva

In termini più moderni, cerchiamo di ricavare dalla definizione l'equazione della curva. Prendiamo intanto il lato del quadrato come unità di misura, come asse x e asse y rispettivamente le rette cui giacciono i lati CD e CB.

ponendo                     avremo:                       

e  anche                  

quindi   

      che rappresenta l'equazione della curva descritta.