Quadratura del cerchio

La curva di Ippia si presta assai bene anche per risolvere il problema della quadratura del cerchio. In tale circostanza viene chiamata quadratrice di Dinostrato (matematico v sec A.C.) che per trattare il problema in questione, ha applicato il metodo di Esaustione determiniamo innanzitutto, con metodi moderni la posizione del punto z della figura sotto.

Si tratta di calcolare                     

ricordando l'equazione della curva descritta

       segue che 

posto                  dunque                      

e dunque il limite da calcolare diventa:

dunque .

La conoscenza di cz permette adesso di procedere elementarmente, cioè con il solo uso di riga e compasso alla rettificazione dell'arco DSB permettendo cosi di costruire con il solo uso di riga e compasso il segmento equivalente all'arco DSB, quarta parte della circonferenza di raggio CD. Basta costruire il segmento CF terzo proporzionale dopo CZ e CD, quindi avremo:   CZ : CD = CD : CF.

Costruzione del 3° proporzionale CF

La costruzione del segmento CF avviene in maniera classica; pensiamo CZ che CD su X e sull’asse Y (retta per BC) il segmento congruente a CD che indichiamo con CE (CE @ CD).Congiungiamo Z con E. Tracciamo la parallela DF alla retta ZE. Per il teorema di Talete il segmento CF è il terzo proporzionale richiesto.

Teorema di Talete fascio di rette parallele (E2//ED) determina sopra due (CD-CF) insiemi di segmenti direttamente proporzionali (CZ:CD=CE:CF con CD @ CE).

Passando alle misure avremo:

Abbiamo dunque trovato un segmento lineare che rappresenta la rettificazione di 1/4 di circonferenza di raggio unitario.

Costruita la circonferenza rettificata, la quadratura del  cerchio è immediata. Infatti prendendo in considerazione il rettangolo CDFG la sua area è:

Dunque l'area del triangolo coincide con l'area del semicerchio di raggio CD (la misura di CF=p/2 come la misura di DSB). L'area del rettangolo DGIH, che è doppio di DGFC, coincide con l'area del cerchio intero. A questo punto abbiamo trovato un rettangolo DGIH equivalente ad un cerchio. E' facile adesso trovare un quadrato equivalente ad un rettangolo attraverso il primo teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al rettangolo dell'ipotenusa e della proiezione del cateto sull'ipotenusa.

Conclusioni

Molte discussioni hanno destato la seguente domanda:

- la soluzione del problema di Dinostrato è da considerarsi rigorosa o solo approssimata?

Riteniamo di poter rispondere affermativamente se si ammette di poter eseguire con esattezza le costruzioni descritte necessarie al fin proposto.

Numeri trascendenti

Nonostante le dimostrazione di Lambert, la natura del numero p non potè dirsi completamente chiara sino a quando, nel 1882 il matematico tedesco Ferdinand Lindemann mostrò che p oltre a essere irrazionale è trascendente (non può essere costruito con riga e compasso, come per esempio la radice di 2  che è pure un numero irrazionale) intendendo dire che p  non è radice non solo di un'equazione algebrica di primo e di secondo grado ma non è radice di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi di qualsiasi grado cioè una equazione della forma:

La dimostrazione di Lindemann metteva così fine a un tormentato problema come quello della rettificazione della circonferenza e della quadratura del cerchio che per 4.000 anni ha travagliato l'umanità.