Test di matematica per l’ammissione
alle facoltà scientifiche

1. Le soluzioni dell'equazione Log(x+3)-Log(x-1)=Logx sono

 m 3					 m -3, 0, 1
 m -3, 1				 m 3, 1
 m non ha soluzioni reali

Svolgimento
-3 non può essere una soluzione perché Logx richiede che l'argomento sia positivo.
1 non può essere soluzione perché Log(x-1) non è definito.
Per risolvere l'equazione si può procedere le seguente modo:
Log(x+3)/(x-1)=Logx
(x+3)/(x-1)=x
x+3-x2+x=0
x2-2x-3=0
x=-1, x=3
x=-1 non è accettabile

2. Dato un numero naturale N, quanto vale il resto della divisione di (2N-3)2 per 4?

 m 1					   m -3
 m 3					 m 9
 m 2

Svolgimento
(2N-3)2=4N2-12N+9=4N2-12N+8-1=4(N2-3N+2)+1
dividendo per 4 il resto è sempre 1

3. Dati n e m due numeri naturali diversi da zero, quale delle seguenti affermazioni è corretta?

 m 
 m 
 m 
 m 
 m nessuna delle precedenti

4. Se l'aumento medio dei prezzi è del 10% l'anno, allora l'aumento complessivo in tre anni (in un periodo ideale di inflazione costante) è

 m tra il 33% e il 34%			 m tra il 30% e il 33%
 m 30%				 m maggiore del 35%
 m tra il 34% e il 35%

Svolgimento
(1,1)3=1,331, quindi il 33,1%

5. 

 m 0					 m 
 m 1					 m 
 m non esiste

Svolgimento

6. Per acquistare un miniappartamento si versa un acconto pari al 20% del costo totale; successivamente, si versano 3 rate: la prima pari a un quarto di quanto resta dopo aver pagato l'acconto; la seconda uguale a un terzo di quanto ancora dovuto dopo aver pagato la prima rata e la terza di 20.000 euro. A quanto è stato acquistato l'appartamento?

 m 50.000 euro				 m 42.000 euro
 m 60.000 euro				 m 36.000 euro
 m 35.000 euro

Svolgimento
L'acconto è del 20%, rimane da pagare 80% del prezzo.
La prima rata è un quarto di 80%, quindi è pari al 20% del prezzo, rimane da pagare il 60%.
La seconda rata è 1/3 del 60% quindi ancora il 20% del prezzo.
Rimane da pagare il 40% del prezzo che corrisponde a 20.000.
P*40/100=20.000

7. La misura in gradi di un angolo è 5°. La sua misura in radianti è

 m 				 m 
 m 			 	m 
 m 

Svolgimento

8. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

 m 		 	m 
 m 			 m 
 m 
9. Il numero sin(-2)

 m = -sin2
 m = 0
 m = -2
 m non si può calcolare perché l'argomento del seno è compreso tra -1 e 1
 m nessuna delle altre risposte

Svolgimento
La funzione sinx è una funzione dispari sin(-x)=-sinx

10. La soluzione della disequazione sinx>2 sono

 m nessun valore di x			 m ogni valore di x
 m 			 m 
 m nessuna delle altre risposte

Svolgimento
Sinx assume valore tra -1 e +1, non può quindi essere >2

11. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

 m 	 m 
 m sin3x=3sinx				 m cos3x=3cosx
 m cos(x+3)=cosx+cos3

Svolgimento

12. L'area di un rettangolo avente un lato di lunghezza tripla della base e il cui perimetro è uguale a quello di un quadrato di lato 1 è

 m 3/4					 m 3/8
 m 1					 m 8/9
 m 7/9

Svolgimento
Detta x la base del rettangolo, l'altezza è 3x, il perimetro è 8x che deve essere uguale al perimetro di un quadrato di lato 1, quindi 8x=4, dea cui x=1/2.
I lati del rattangolo misurano 1/2 e 3/2, l'area 3/4

13. Tre circonferenze di raggio 1 sono tangenti esternamente come in figura

L'area della regione finita delimitata dalle tre circonferenze e denotata con la lettera A nella figura vale

 m 					 m 
 m 					 m 
 m 1,5

Svolgimento
Il triangolo equilatero che ha per vertici i centri delle circonferenze ha lato 2 e altezza , la sua area vale .
Per ottenere l'area di A bisogna sottrarre l'area dei tre settori circolari, ciascuno di angolo al centro 60°, quindi ciascuno è 1/6 della circonferenza. In totale formano 3/6 di circonferenza, ...

14. 

 m x=1/2					 m x=1/4
 m x=4					 m x=-1/2
 m x=2

Svolgimento

15. Nella figura che segue le circonferenze sono tangenti e quella più grande ha raggio r. L'area della regione A, interna alla circonferenza più grande, esterna alle circonferenze più piccole e posta al di sopra della retta passante per O e Q vale

 m 					 m 
 m 					 m 
 m 

Svolgimento
La semicirconferenza grande ha area 
Una delle semicirconferenze piccole ha area 
A misura 

16. Se a è un multiplo intero di 3 e b=3a, quali tra i numeri interi 21, 24 e 45 possono essere scritti nella forma a+b?

 m solo 24					 m solo 21
 m solo 45					 m solo 21 e 24
 m solo 24 e 25

Svolgimento
a=3N
b=3a = 9N
a+b=12N

17. Quale delle seguenti è una misura plausibile per l'altezza di un tavolo?

 m 0,0075 hm					 m 0,75 dm
 m 7500 mm					 m 0,0075 km
 m 0,000075km

Svolgimento
0,0075 hm = 0,75 m, poco meno di un metro.

18. Se x è un numero reale negativo, allora

 m 					 m 
 m 					 m 
 m 

Svolgimento
|x| è sempre >0, quindi -|x| sempre <0, allora se x<0 allora anche x-|x|<0

19. Se un polinomio P(x) è divisibile per x2-4, allora

 m P(x) non ha radici reali				 m 2 non è una radice di P(x)
 m -2 non è una radice di P(x)			 m sono certamente radici di P(x)
 m 2 e -2 sono certamente radici di P(x)

Svolgimento
Se P(x) è divisibile per x2-4 allora si può scrivere come (x2-4)*Q(x), che si annulla sicuramente se x2-4=0.

20. L'equazione sinx+cosx=0, per x che varia tra 0 e , ammette

 m una soluzione					 m due soluzioni
 m quattro soluzioni				 m infinite soluzioni
 m nessuna soluzione

Svolgimento
E’ sufficiente rappresentare su un grafico le due funzioni

21. Data la retta r: , quale delle seguenti rette passa per il punto P(1,1) ed è perpendicolare a r?

 m 				 m 
 m 				 m 
 m 

Svolgimento
Il coefficiente angolare deve essere -1/m, quindi 2/3, le rette con coef. ang. 2/3 sono la B e la C. Quella che passa per il punto (1,1) è la B.

22. Sapendo che l'affermazione "Tutti i sabati vado in pizzeria e poi al cinema" è falsa, se ne deduce che

 m qualche sabato non vado in pizzeria o al cinema
 m tutti i sabati non vado in pizzeria o al cinema
 m qualche sabato non vado né in pizzeria né al cinema
 m tutti i sabati non vado né in pizzeria né al cinema
 m tutti i giorni vado in pizzeria e al cinema

Svolgimento
La negazione di tutti è "qualche...", la negazione di "e" è "o"

23. Se x e y sono due angoli legati dalla relazione , quale selle seguenti uguaglianze è vera?

 m sinx+siny=0					 m cosx+cosy=-1
 m tanx=tangy					 m cosx=cosy
 m tanx+tany=0	

Svolgimento
Per gli angoli x e y in questione valgono
senx=seny
cosx=-cosy
quindi tanx=-tany

24. L'età media dei partecipanti ad una festa è di 24 anni. Se l'età media degli uomini è 28 anni e quella delle donne è 18 anni, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?

 m 3/2						 m 2
 m 14/9					 m 4/3
 m 9/14

Svolgimento
Ponendo x il numero di uomini e y il numero di donne, si ha la relazione
(28x+18y)/(x+y)=24
28x+18y=24(x+y)
28x+18y=24x+24y
4x=6y
x/y=6/4

25. Un triangolo rettangolo ha perimetro lungo 12 cm. Allora i suoi due cateti sono lunghi

 m 1 e 2 cm					 m 2 e 3 cm
 m 3 e 4 cm					 m 4 e 5 cm
 m 5 e 6 cm

Svolgimento
Il triangolo di lati 3cm, 4cm, 5cm è rettangolo e ha perimetro 12cm

26. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
Affinché due frazioni siano uguali

 m è sufficiente che abbiano lo stesso  numeratore e lo stesso denominatore
 m è necessario che abbiano numeratori e denominatori proporzionali
 m è necessario che abbiano uguale numeratore e uguale denominatore
 m non è necessario che abbiano uguale numeratore e uguale denominatore
 m è necessario e sufficiente che abbiano numeratori e denominatori proporzionali

Svolgimento
La C e la D sono una il contrario dell'altra. Una delle due deve essere falsa.
Affinché due frazioni siano uguali non è necessario che abbiano uguale numeratore e denominatore; sono infatti uguali le frazioni 2/3 e 4/6.
27. La metà di  è uguale a

 m 					 m 
 m 					 m 
 m 

Svolgimento

28. La seguente tabella rappresenta la distribuzione dei redditi annuali (in migliaia di euro) di una certa collettività di persone

Se ne deduce che

 m le persone con reddito inferiore a 10.000 sono meno di quelle che hanno un reddito superiore a 30.000
 m le persone con reddito inferiore a 20.000 sono tante quante quelle che hanno un reddito compreso fra 20.000 e 50.000
 m il 60% delle persone ha un reddito superiore a 25.000
 m il 20% delle persone ha un reddito superiore a 40.000
 m nessuno ha un reddito di 5.000

Svolgimento
Si tratta di percentuali cumulate, le persone con reddito inferiore a 20.000 sono 47% quelle con reddito tra 20.000 e 50.000 sono 94%-47%=47%

29. L'equazione nell'incognita reale x

 m non ha soluzioni					 m ha due soluzioni
 m ha l'unica soluzione x=3				 m ha più di due soluzioni
 m ha un'unica soluzione la quale è diversa da 3

Svolgimento

30. Aldo, Bruno e Carlo sono tre amici. Si sa che
(a) almeno uno di essi è laureato
(b) se Aldo è laureato, anche Bruno lo è
(c) se Carlo è laureato, anche Aldo lo è
(d) solo uno tra Bruno e Carlo è laureato
Allora si deduce che

 m Aldo e Bruno sono laureati
 m Bruno è laureato
 m Aldo è laureato e Bruno non lo è
 m Carlo è laureato
 m i laureati sono due

Svolgimento
Tra Carlo e Bruno solo uno di essi è laureato. Se lo fosse Carlo allora anche Aldo lo sarebbe, di conseguenza per la (b) anche Bruno è laureato, da cui l'assurdo.

31. Quale delle seguenti è l'equazione di una circonferenza?

 m 
 m 
 m 
 m 
 m 

Svolgimento
L'equazione di una circonferenza è del tipo
x2+y2+ax+by+c=0
con a2+b2-4c=0
Se i termini x2 e y2 hanno lo stesso coefficiente, si può dividire tutta l'equazione per quel coefficiente.

32. In una città ogni abitante è tifoso di una squadra di calcio. Tre quinti degli abitanti tifano per la Juventus e un quarto dei rimanenti tifano per il Milan. Se tutti gli altri sono tifosi dell'Inter, qual è la percentuale dei tifosi dell'Inter?

 m 10%					 m 15%
 m 20%					 m 25%
 m 30%

Svolgimento
3/5 corrispondono al 60%, che sono i tifosi della Juventus
I ramenti sono il 40%. Un quarto di questi sono il 10%, che sono i tifosi del Milan
I rimanenti sono quindi il 30%, che sono i tifosi dell'Inter.

33. L'operazione * è definita come segue: per ogni coppia di numeri positivi a e b

Il valore di 4*5 è

 m 4						 m 1/4
 m 36						 m -1
 m nessuna delle altre risposte è esatta

Svolgimento

34. Qual è il valore di n se 513253=2545n?

 m 12						 m 10
 m 11						 m 8
 m nessuna delle altre risposte è esatta

Svolgimento

35. Se q2=27, qual è il valore di (q+1)(q-1)?

 m 					 m 
 m 26						 m 28
 m nessuna delle risposte precedenti

Svolgimento
(q+1)(q-1)=q2-1=27-1=26

36. Le soluzioni dell'equazione (x2-6x+9)2=0 sono

 m x=-1, x=3					 m tutti gli x reali e positivi
 m nessun valore di x				 m x1=x2=x3=0, x4=3
 m nessuna delle risposte precedenti

Svolgimento
(x-3)4=0
x=3

37. Quali delle seguenti 3 espressioni hanno significato?
(a) 
(b) 
(c) 

 m (a) e (b)					 m (a), (b) e (c)
 m (a) e (c)					 m solo (b)
 m nessuna

Svolgimento

Poiché l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo ha significato solo l'espressiobe (b)

38. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra i polinomi x-2 e x3-8 sono, rispettivamente

 m x-2 e x4-16					 m x2-4 e x3-8
 m x-2 e x3-8					 m 1 e x3-8
 m x-2 e (x-2)2(x2+2x+4)

Svolgimento
Scomponendo in fattori si ha
x-2
(x-2)(x2+2x+4)
MCD=x-2 l'unico fattore in comune
mcm=(x-2)(x2+2x+4)

39. La disequazione  è verificata se e solo se

 m x è un numero reale qualunque			 m 
 m 					 m 
 m 

Svolgimento

40. Una sfera di raggio r e un cilindro circolare retto con raggio di base r hanno lo stesso volume. Allora l'altezza del cilindro è

 m 4/3 r					 m 8/3 r
 m 2/3 r					 m 4 r
 m r

Svolgimento
Volume della sfera 
Volume del cilindro 
uguagliando i due volumi si ottiene il valore di h