Per capire meglio tale argomento viene riportato un breve ripasso sulla circonferenza goniometrica e sulla funzione seno.
Circonferenza goniometrica: definizione e spiegazione
Una circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto particolare chiamato centro.Definiamo ora un piano cartesiano come un piano in cui vengono tracciati due assi disposti in modo perpendicolare: l’asse delle x o delle ascisse e l’asse delle y o delle ordinate.
Ogni punto del piano cartesiano può essere individuato da due coordinate, una coordinata x e una coordinata y.
La circonferenza goniometrica è un particolare tipo di circonferenza che ha come centro l’origine degli assi cartesiani e che ha un raggio unitario.
Ogni punto sulla circonferenza viene individuato da un vettore che ha come origine il centro degli assi e in cui la punta tocca la circonferenza goniometrica: il modulo di tale vettore sarà unitario in quanto anche la circonferenza ha raggio unitario.
Si definisce inoltre l’angolo compreso tra tale vettore e l’asse (per convenzione viene scelto l’asse x delle ascisse); chiamiamo tale angolo θ (in genere gli angoli vengono indicati con una lettera greca minuscola).
Per ulteriori approfondimenti sui vettori e sulle loro caratteristiche vedi anche qua
Seno: definizione e significato
Data una circonferenza goniometrica e un punto appartenente ad essa, si traccia il vettore che ha origine nel centro degli assi e che termina sulla circonferenza, tale vettore ha modulo unitario in quanto il suo modulo corrisponde al raggio della circonferenza goniometrica che è unitario.
Tale vettore è definito dall’angolo che esso forma con l’asse x, chiamiamo questo angolo θ.
Il punto sulla circonferenza è un punto del piano cartesiano perciò può essere individuato attraverso due coordinate: l’ascissa o coordinata x e l’ordinata o coordinata y.
Si può immaginare che l’angolo formato dal vettore con l’asse x determina la posizione del punto individuato sulla circonferenza ed è relazionato alle coordinate del punto stesso.
A tal proposito sono state introdotte due funzioni che permettono di esprime la correlazione tra l’angolo θ e le coordinate del punto.
In particolare la funzione seno è quella funzione che, applicata all’angolo θ, definisce il valore della coordinata y del punto considerato sulla circonferenza goniometrica.
Questo ragionamento può essere eseguito per ogni vettore con un modulo di qualsiasi valore; in tal caso è necessario moltiplicare la funzione seno per il modulo del vettore che si sta considerando, eseguendo tale operazione si trova il valore della coordinata y del punto considerato.
In modo analogo alla funzione seno, è stata introdotta anche la funzione coseno che permette di trovare il valore dell’ascissa del punto individuato sulla circonferenza goniometrica.
Le funzioni seno e coseno provengono da considerazioni sulla circonferenza goniometrica, perciò prendono il nome di funzioni goniometriche.
Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni trigonometriche vedi anche qua
Funzione seno: costruzione
Dopo aver definito la funzione seno è utile considerare che valori assume tale funzione al variare dell’angolo θ.Si considera sempre una circonferenza goniometrica, perciò si considera sempre un punto sulla circonferenza che ha distanza unitaria dal centro del piano cartesiano.
Consideriamo un angolo nullo (θ=0), tale angolo individua sulla circonferenza goniometrica un punto che sta sull’asse delle ascisse, tale punto è caratterizzato quindi da un valore di ordinata nullo (y=0).
Dato che la funzione seno di un angolo ci fornisce il valore dell’ordinata del punto, si ha che:
sin(0°)=0
Consideriamo ora l’altro caso estremo, ovvero quando l’angolo considerato è pari a 90° (θ=π); in tal caso il punto che viene individuato sulla circonferenza goniometrica appartiene all’asse delle ordinate, dato che la circonferenza goniometrica ha raggio unitario e dato che il punto considerato appartiene alla circonferenza si ha che il valore dell’ordinata del punto è proprio 1.
Dato che la funzione seno di un angolo ci fornisce il valore dell’ordinata del punto, si ha che:
sin(90°)=1
Se ora consideriamo i valori dell’ascissa di un punto che viene individuato da un angolo iniziale di 0° e che progressivamente aumenta si ha che il valore dell’ordinata del punto parte dal valore nullo, aumenta progressivamente all’aumentare dell’angolo fino a raggiungere il valore unitario in corrispondenza di 90°, poi il valore dell’ordinata inizia a diminuire fino a raggiungere il valore minimo pari a -1 in corrispondenza di 270° e ritorna ad assumere un valore nullo in corrispondenza di un angolo giro (360°).
Se si continua ad aumentare l’angolo oltre al valore dell’angolo giro, i valori dell’ordinata iniziano a ripetersi.
Se si raffigura in un grafico i valori della funzione seno (nell’asse verticale) in funzione dei valori del relativo angolo (nell’asse orizzontale) si ottiene un grafico come quello riportato nell’animazione; tale funzione rappresenta proprio la funzione seno e tale andamento raffigura una sinusoide.
Una sinusoide è quindi una figura che ha un andamento oscillatorio e che si ripete dopo un ben definito intervallo; tale spazio è proprio 360° o 2π radianti nel caso della funzione seno.
Tale funzione oscilla tra due valori: il valore massimo è il valore unitario in corrispondenza di 90° mentre il valore minimo è -1 in corrispondenza di 270°.
