Sole e Terra

In questo articolo desideriamo ritornare sulla gravitazione universale, che è stata usata per i calcoli di precedenti articoli. Per far questo consideriamo una situazione semplificata, il sistema Sole-Terra.

La Terra fa parte del sistema solare, insieme ad altri pianeti che orbitano attorno alla stella a distanze grandi e molto diverse. In linea di principio tutti i pianeti si attraggono tra di loro e sono attratti dal Sole, ma le attrazioni pianeta-pianeta sono molto piccole rispetto alle attrazioni pianeta-Sole.

Nell’intento di costruire un modello matematico non troppo complicato per il moto della Terra attorno al Sole ignoriamo tutti i pianeti, tranne la Terra, e trascuriamo anche la Luna. Di sicuro il nostro satellite influisce sulle maree terrestri, ma ha ben poco effetto gravitazionale sul moti del pianeta, che ha massa enormemente superiore.

L’attrazione gravitazionale, sappiamo, è quantificata con ottima precisione dalla legge di gravitazione universale (R1,R2) di Isaac Newton, il quale non solo la scoprì, ma la dimostrò.

Essa andrebbe scritta correttamente in forma vettoriale, ma limitandoci al modulo della forza, è cosi esprimibile:

\[ \begin{equation} F= G \frac{mM}{d^2} \tag{1}\label{eq1}\end{equation} \]

dove $m$ ed $M$ sono le masse di Terra e Sole, mentre $d$ è la distanza tra i baricentri dei due corpi celesti, $G$ la costante di gravitazione universale.

Sappiamo che la forza $F$ è attrattiva ed è diretta lungo la congiungente dei baricentri. Per il terzo principio della dinamica (R3, sempre di Newton) la forza con la quale la terra attrae il Sole è uguale e contraria a quella con cui il Sole attrae la Terra. Le due forze ovviamente non si annullano perché sono applicate a corpi diversi. Ora essendo i due corpi celesti privi di vincoli, vale a dire liberi di muoversi, la forza gravitazionale produce il moto per ognuno dei due, sulla base del secondo principio della dinamica (R3, ancora di Newton):

\[ \begin{equation} F=ma=m\frac{dv}{dt} \tag{2}\label{eq2} \end{equation} \]

dove $a$ è l‘accelerazione, che come sappiamo, è la derivata della velocità rispetto al tempo.

Combinando le (\(\ref{eq1}\)) e (\(\ref{eq2}\)) si ottiene:

\[ \begin{equation}\frac{dV}{dt} = \frac{GM}{d^2} \tag{3}\label{eq3} \end{equation} \]

Che, nel nostro caso, esprime il moto della Terra (anche le (\(\ref{eq2}\)) e (\(\ref{eq3}\)) andrebbero scritte in forma vettoriale).

Un’equazione del tutto analoga alla (\(\ref{eq3}\)) si applica al il moto del Sole, per rendere conto del dell’attrazione della Terra. Tuttavia è facile rendersi conto che data l’enorme sproporzione tra le masse dei due corpi (\(\frac{M}{m}\simeq 10^5\)) l’attrazione terrestre ha un effetto trascurabile sul Sole. Possiamo quindi assumere che il Sole resti immobile e si possa considerare con buona approssimazione un riferimento inerziale.

Sappiamo che la Terra ruota attorno al Sole (moto di Rivoluzione) su di un orbita ellittica, che giace in un piano (in azzurro nella figura seguente).

Moto della Terra attorno al Sole

 

 

 

 

 

 

 

 

Il disegno rappresenta la posizione del pianeta a inizio dell’anno, quando si trova al perielio, il punto più vicino al Sole. La rappresentazione non è in scala ed è deformata per evidenziare la forma ellittica, mentre in realtà l’orbita è molto vicina ad una circonferenza, come si vede nel disegno sotto in scala, dove il Sole è nell’origine.

Orbita reale della Terra

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Conosciamo la distanza Terra-Sole al perielio ed anche la velocità $V_0$, pari a circa 30 mila m/s. La velocità di rivoluzione è leggermente variabile lungo l’orbita ed è massima al perielio. L’equazione (\(\ref{eq3}\)), che nella sua forma corretta è vettoriale, può essere scritta nelle sue componenti scalari lungo gli assi $x, y$ rappresentate da un sistema di due equazioni differenziali del secondo grado, riconducibile a quattro equazioni differenziali di primo grado in forma normale (vedere APPENDICE 1). Che sono state studiate a lungo nei secoli scorsi alla faticosa ricerca della soluzione. Ai tempi nostri con un semplice calcolo numerico (con il metodo di Runge-Kutta) si risolve facilmente e si verifica che il periodo della rivoluzione è pari a 365,25 giorni, come ben sappiamo. La parte decimale 0,25 fa sì che ogni quattro anni si debba aggiungere un giorno al mese di febbraio. Fin qui nulla di nuovo.

È opportuno ricordare che il campo gravitazionale è di tipo conservativo, questo vuol dire che è possibile definire l’energia potenziale del campo gravitazionale, che si ottiene integrando l’equazione (\(\ref{eq1}\)) lungo la distanza d, ottenendo:

\[ \begin{equation} U = – \frac{GmM}{d} \tag{4}\label{eq4} \end{equation} \]

In tal modo si comprende che il lavoro effettuato dal campo gravitazionale eguaglia la variazione di energia potenziale e non dipende dal percorso, ma solo dalla distanza tra il punto iniziale ed il finale. Pertanto il lavoro dal campo gravitazionale fatto lungo un cammino chiuso ($d =0$) è nullo, vale a dire non ci sono dissipazioni di energia (è questo il significato di campo conservativo).

Ora l’energia meccanica E è data dalla somma di energia potenziale ed energia cinetica:

\[ \begin{equation} E = U + T = – \frac{GmM}{d}+\frac{1}{2}mV^2 \tag{5}\label{eq5} \end{equation} \]

È da rilevare che in assenza di forze esterne l’energia $E$ si conserva (i.e. resta costante): pertanto nel nostro modello semplificato di sistema solare ogni variazione di $T$ è compensata da una variazione uguale e contraria di $U$ e viceversa.

È stato dimostrato (R4) che l’orbita di un corpo celeste, nel suo moto attorno ad un altro di massa enormemente maggiore, è di tipo diverso secondo il valore dell’energia (R5), come da tabella seguente:

VALORE DELL’ENERGIA ORBITA ECCENTRICITA’(R7)
E < 0 ELLISSE < 1
E = 0 PARABOLA = 1
E > 0 IPERBOLE > 1

Nel caso della Terra al perielio risulta $E = U +T = -5.4 * 10^(33) +2.7*10^(33) =-2.7*10^(33) J$ e questo conferma che l’orbita della Terra è ellittica.

Nel nostro modello semplificato Terra-Sole l’orbita della Terra è perfettamente stabile, come si può verificare calcolando la sua orbita anche in tempi lunghi dopo moltissime rotazioni.

In realtà la Terra fa parte del sistema solare ed esistono delle azioni gravitazionali (piccolissime) da parte degli altri pianeti che influenzano leggermente l’orbita terrestre. Gli studiosi si sono chiesti, negli ultimi due secoli, se essa rimarrà sempre stabile. Molti (a partire da Poincare’ che ha fornito una soluzione parziale al problema dei tre corpi) hanno manifestato dubbi sulla stabilità a lungo termine, definendo il sistema solare caotico (R6), Tuttavia calcoli recenti, effettuati su supercomputer con modelli di calcolo molto precisi hanno verificato la sua stabilità, almeno per alcuni milioni di anni futuri. È anche vero che per effetto degli altri pianeti l’eccentricità (R7, R8) dell’orbita terrestre varia leggermente (in modo periodico) nell’ arco di decine di migliaia di anni come riportato nel diagramma seguente (Fonte Wikipedia).

Eccentricità dei pianeti rocciosi del sistema solare

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Fonte della figura: Data generated with Gravity Simulator written by Tony DunnSource JPG on server)

Ora vogliamo a fare qualche nuova simulazione facendo l’ipotesi che la velocità della Terra al perielio sia un po’ diversa, vale a dire un po’ minore o maggiore. Domande di questo genere possono apparire strane, tuttavia alcuni le pongono. Nei siti scientifici anglosassoni si possono trovare risposte da parte di fisici/astronomi (R9, R10, R11).

ORBITA CIRCOLARE

Intanto notiamo che l’eccentricità dell’orbita terrestre è molto piccola (0,0167). Che cosa succederebbe se fosse esattamente nulla? Si avrebbe un’orbita circolare. In questo caso l’attrazione gravitazionale sarebbe esattamente bilanciata dalla accelerazione centripeta, per la quale si applica la nota formula per il moto circolare:

\[ \begin{equation} F = G \frac{mM}{d^2} = m \frac{V^2}{d} \tag{6}\label{6} \end{equation} \]

E quindi:

\[ \begin{equation}V_I = \sqrt{\frac{GM}{d}} \tag{7}\label{eq7} \end{equation} \]

Alla distanza del Perielio Terra-Sole si avrebbe $V_I = 30 text(mila) m/s$, costante lungo tutta l’orbita circolare.

Orbita circolare pianeta terra

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Questa velocità tipica si definisce prima velocità cosmica e, come appare dalla (\(\ref{eq7}\)), non dipende dalla massa del pianeta che orbita attorno al Sole, ma solo dalla sua distanza. L’anno durerebbe 356 giorni, una piccola differenza rispetto al valore reale.

Si chiama prima velocità cosmica perché è la velocità minima che consente al pianeta di restare in orbita attorno al Sole. A velocità inferiore precipita sulla nostra stella con un moto spiraliforme.

Notiamo che la velocita reale della Terra al perielio è di circa 30,3 mila m/s e quindi differisce dalla prima velocità cosmica $V_I$ per l’1%. Questo è dovuto alla sua piccolissima eccentricità. Commento analogo si potrebbe fare per tutti gli altri pianeti del sistema solare.

VELOCITA’ INIZIALE $V_0 < V_I$

Che cosa succederebbe se la velocità della Terra al perielio dovesse ridursi al disotto di 30 km/s? Evidentemente precipiterebbe verso il Sole. Proviamo a simulare questo moto nell’ipotesi $V_0 = 15 km/s$.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il diagramma riporta il moto della terra a partire dal perielio (a destra) in una spirale antioraria (si suppone di osservare la Terra dal polo Nord). L’origine degli assi è il baricentro del Sole. Il calcolo si riferisce ad una durata di 16 anni. Continuando i calcoli, dopo circa un altro anno si avrebbe il collasso dentro il Sole. Il calcolo è stato effettuato ad una velocità V0 assurdamente piccola (metà di quella reale), per drammatizzare il risultato. Tuttavia l’esito finale sarebbe lo stesso, ma con tempi molto più lunghi, in caso di V0 di poco inferiore alla prima velocità cosmica. Un’ipotesi così fosca avrebbe qualche probabilità di verificarsi? Assolutamente no. Vediamo di spiegarlo.

Per immaginare che la Terra possa precipitare sul Sole basterebbe che la velocità al perielio subisca una piccola diminuzione, anche di poco superiore all’ 1%. La Terra di per sé non ha alcun motivo di rallentare. Per frenarla potremmo immaginare un impatto astronomico (R12), vale a dire che un corpo celeste colpisca la Terra (nel nostro caso supponiamo al perielio), in tal modo riducendo la quantità di moto del sistema. Questo corpo non può essere un pianeta (sono tutti completamente stabili nelle loro orbite). Potrebbe essere un meteorite o forse una cometa (che è molto più grande dei meteoriti). Corpi di questo tipo provengono dalla fascia di Edgeworth-Kuiper e dalla nube di Oort (R13), zone che sono situate al di là dell’orbita dell’ultimo pianeta Nettuno. Qui sotto è schematizzato l’impatto Terra-cometa al Perielio, quando entrambi i corpi si muovono lungo l’asse y.

Impatto terra cometa al perielio

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Comprendiamo che per rallentare la Terra la cometa dovrebbe avere una grande quantità di moto (prodotto della massa per la velocità). In assenza di forze esterne in direzione $y$, si conserva la quantità di moto del sistema Terra-cometa:

\[ \begin{equation}mV_0 – m_CV_C = (m+m_C)V’_0 \tag{8}\label{eq8} \end{equation} \]

dove \(V’_0\) è la velocità del sistema Terra-cometa dopo l’impatto. Poniamo \(V’_0 = \alpha V_0\) , dove ad es. \(\alpha=0,99\) (questo significa assumere che la velocità della Terra si riduca dell’1%).

Con semplici passaggi e approssimazioni (APPENDICE 2) si conclude che la (\(\ref{eq8}\)) si semplifica:

\[ \begin{equation} V_C = \frac{m}{m_C}(\alpha-1)V_0 \tag{9}\label{eq9} \end{equation} \]

Ora dobbiamo stimare la massa della cometa. Assumiamo come base di riferimento la cometa più nota (Halley) che ha massa pari a circa $2*10^(14) kg$.

Sostituendo i valori nella (\(\ref{eq9}\)) si trova che la velocità della cometa è di circa $8*10^(12) m/s$. Una velocità del genere è superiore a quella della luce ($3*10^8$) e non è possibile. Ad es. la velocità max. della cometa di Halley e stimabile in 50 mila m/s.

Si può concludere che non esiste un corpo celeste in grado di rallentare la terra al disotto della velocità cosmica. Dunque non ci potrebbe essere un rallentamento così pericoloso per la Terra.

Questo non esclude che un grosso meteorite o una cometa possa in futuro colpire la Terra, con conseguenze preoccupanti. Non è privo di interesse ricordare che gli studiosi attribuiscono la formazione degli oceani all’apporto di acqua da parte di numerose comete nel primo miliardo di vita del nostro pianeta. Fortunatamente esiste una rete internazionale di monitoraggio di comete e grandi asteroidi e ad oggi non si prevede alcun impatto nel prossimo futuro.

AUMENTO DELLA VELOCITA’ DELLA TERRA

In via puramente teorica ci potremmo domandare cosa succederebbe se la velocità $V_0$ fosse superiore a quella attuale. La risposta è semplice: si avrebbe un’orbita ellittica molto più eccentrica. Ecco un esempio dell’orbita per un aumento del 10% di $V_0$:

Ellissi dell'orbita della terra in seguito a un aumento della sua velocità del 10%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In questa situazione il semiasse dell’orbita ellittica aumenterebbe del 28% e l’anno durerebbe 527 giorni. Questo cambierebbe moltissimo il ciclo delle stagioni e le condizioni climatiche.

FUGA

Si avrebbe sempre orbita ellittica per ogni velocità superiore? La risposta è negativa. Esiste una ulteriore velocità limite, la seconda velocità cosmica, che si determina azzerando l’energia E, equazione (\(\ref{eq5}\)), ottenendo:

\[ E = U + T = -\frac{GmM}{d}+\frac{1}{2}mV^2 = 0 \]

Vale a dire:

\[ \begin{equation} V_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{d}} \tag{10}\label{eq10} \end{equation} \]

Questo vuol dire che al Perielio si avrebbe $V = 42 (km)/s$.

In questa situazione ($E =0$), come abbiamo visto nella tabella precedente, l’orbita diventa parabolica, con il Sole nel fuoco della parabola. In questo caso la Terra partendo dal perielio si allontanerebbe gradualmente dal Sole dirigendosi all’infinito nel cosmo.

Orbita parabolica della terra

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IPERBOLE

Infine quando $V_o$ è superiore alla seconda velocità cosmica il moto della terra sarebbe simile alla precedente da un punto di vista qualitativo, ma l’orbita sarebbe un’iperbole ($E>0$).

Orbita iperbolica della terra

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tutti i calcoli sono riportati nel file EXCEL associato all’articolo.

Il seguente diagramma descrive le orbite. Dall’interno all’esterno aumenta la velocità al perielio:

  • gomitolo azzurro = caduta a spirale;
  • arancio = orbita circolare (prima velocità cosmica);
  • pallini verdi = orbita reale (leggermente ellittica);
  • nera = orbita ellittica pronunciata;
  • rossa = orbita parabolica (seconda velocità cosmica);
  • verde = orbita iperbolica.

Orbite ipotetiche di rivoluzione

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONCLUSIONE

Questo articolo ha provato a descrivere e simulare il moto della Terra attorno al Sole nella situazione reale ed in alcune ipotesi di diversa velocità al perielio. Si è visto che cambiamenti anche modesti della velocità produrrebbero modifiche notevoli dell’orbita. Che facilmente o sicuramente sarebbero incompatibili, con le condizioni di vita della nostra specie e di gran parte del regno animale. Come è stato messo in luce da molti è dunque un caso molto strano, particolare e davvero fortunato che si sia determinata per il nostro pianeta una situazione astronomica adatta allo sviluppo della vita biologica, almeno nella forma che conosciamo, vale a dire basata sulla chimica del carbonio e con la struttura cellulare a doppio filamento del DNA, comune a tutte le specie (R14). Questo ha autorizzato alcuni a formulare la (discutibile) ipotesi denominata Principio Antropico.

Si potrebbe forse istituire un parallelismo con la teoria dell’evoluzione darwiniana (R15, R16). Anche qui il caso (le mutazioni genetiche) insieme all’impatto con l’ambiente, ha determinato la generazione, il cambiamento, la scomparsa delle specie.

La semplice teoria della gravitazione universale, a partire da Newton, ha rappresentato il punto di svolta per lo sviluppo del pensiero scientifico e della sperimentazione, permettendo all’uomo di liberarsi dalle concezioni primitive e irrazionali sulla natura. Fino ad oggi è la base per calcolare il moto dei corpi celesti e per tutte le imprese nello spazio: satelliti artificiali (inclusa la Stazione Spaziale Internazionale), spedizioni lunari, invio di navette e rover su Marte, piani per la sua conquista.

APPENDICE 1 – EQUAZIONI DEL MOTO DELLA TERRA RISPETTO AL SOLE

La legge di gravitazione universale in forma vettoriale, versione rigorosa della (\(\ref{eq3}\)), è data da:

\[ \begin{equation} \frac{d\vec{V}}{dt} = -G\frac{M}{r^3}\vec{r} \tag{11}\label{eq11}\end{equation} \]

dove \(\vec{r}\) è il vettore distanza, tale che il suo modulo vale

\[ r = d = \sqrt{x^2+y^2} \]

essendo $x, y$ le coordinate del baricentro terrestre nel moto piano di rivoluzione lungo la sua orbita.

Le componenti della (\(\ref{eq11}\)) proiettata lungo gli assi $x, y$ sono:

\[ \begin{array}{rcl}\frac{dV_x}{dt} = -GM \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} \\ \frac{dV_y}{dt} = -GM \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \tag{12}\label{eq12} \\ \frac{dx}{dt} = V_x \\ \frac{dy}{dt} = V_y \end{array} \]

Che è un sistema di quattro equazioni differenziali in forma normale. Con la condizione iniziale al perielio:

\[ t=0 \,\,\,\,\,\,\,\, x=x_0 \,\,\,\,\,\,\,\, y=0 \,\,\,\,\,\,\,\, y=0 \,\,\,\,\,\,\,\, V_x=0 \,\,\,\,\,\,\,\, V_y = V_0  \]

APPENDICE 2 – COMETA CHE IMPATTA LA TERRA AL PERIELIO

Il bilancio di quantità di moto in direzione $y$ è dato da:

\( mV_0 – m_CV_C = (m+m_C)V’_0 = (m+m_C)\alpha V_0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{(avendo assunto } V’_0 = \alpha V_0 \text{)} \)

Si risolve in funzione di $V_C$

\[  V_C = \Big[ \alpha\Big( \frac{m}{m_C} + 1 \Big) – \frac{m}{m_C} \Big] V_0 \]

Ora notiamo che \( m \gg m_C \) e quindi si può approssimare, con errore trascurabile: \( \frac{m}{m_C} + 1 \simeq \frac{m}{m_C} \)

In definitiva:

\[ V_C = \Big[ \frac{m}{m_C} (\alpha -1) \Big] V_0 \]

APPENDICE 3 – CASO $V_0 = 0$

Un appassionato dell’argomento ha posto a un esperto una domanda fantascientifica: cosa avverrebbe se la Terra perdesse improvvisamente la sua velocità. L’esperto ha risposto che in 64 giorni cadrebbe sul Sole (R17).

Caduta della terra sul sole

 

 

 

 

 

Proviamo a immaginare come l’esperto è giunto a questo risultato (l’ipotesi ovviamente è del tutto irrealistica) assumendo che sia $V_0 = 0$ al perielio.

Chiaramente le equazioni di moto (APPENDICE 1) degenerano nel moto unidimensionale lungo l’asse $x$: la Terra viene attratta al Sole e le sue accelerazione e velocità crescono progressivamente.

\[ \begin{equation} \frac{dV_x}{dt} = – \frac{GM}{x^2} \tag{13}\label{eq13} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \frac{dx}{dt} = V_x \tag{14}\label{eq14} \end{equation} \]

Questo sistema differenziale può essere integrato per via numerica, ma esiste un problema di convergenza perché, quando la Terra è ormai vicina al Sole, l’attrazione gravitazionale è molto grande e tale è quindi l’accelerazione. Questo pone dei problemi numerici, che potrebbero essere tuttavia risolti con routine di integrazione di equazioni stiff.

Vediamo invece cosa si riesce a fare con metodi analitici.

Intanto eliminiamo il pedice $x$ dalla velocità, perché sappiamo che il moto è unidimensionale. La (\(\ref{eq13}\)) diventa:

\[ \begin{equation} \frac{dV}{dt} = – \frac{GM}{x^2} \tag{15}\label{eq15} \end{equation} \]

Ora scriviamo la conservazione dell’energia meccanica tra la situazione iniziale al perielio (pedice 0) e quella in un generico punto dell’asse $x$ durante il suo moto verso il Sole:

\[ \begin{equation}E = U + T = – \frac{GmM}{x_0} + \frac{1}{2} mV^2_0 = – \frac{GmM}{x} + \frac{1}{2}mV^2 \tag{16}\label{eq16} \end{equation} \]

Ed avendo assunto che all’inizio (al perielio) la velocità è nulla, si può semplificare e risolvere rispetto alla velocità:

\[ V^2 = 2GM\Big( \frac{1}{x} – \frac{1}{x_0} \Big) \]

Per determinare la velocità prendiamo ora la radice quadrata, facendo attenzione a scegliere la radice negativa, perché sappiamo che la Terra in questa situazione si muove in senso opposto all’asse x:

\[ \begin{equation}V = -\beta \sqrt{\frac{1}{x} – \frac{1}{x_0}} \tag{17}\label{eq17} \end{equation} \]

Dove si è posto: \(\beta = \sqrt{2GM}\).

La (\(\ref{eq15}\)) esprime la velocità in funzione di $x$. La possiamo derivare:

\[ \frac{dV}{dx} = \frac{\beta}{2x^2\sqrt{\frac{1}{x} – \frac{1}{x_0}}} \]

Ora ci ricordiamo la regola della derivazione per parti:

\[ \begin{equation} \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dx}  \frac{dx}{dt} = \frac{\beta}{2x^2\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}} \frac{dx}{dt} \tag{18}\label{eq18} \end{equation} \]

Mentre la (\(\ref{eq13}\)) può essere riscritta inserendo il parametro \(\beta\):

\[ \begin{equation} \frac{dV}{dt} = – \frac{\beta^2}{2x^2} \tag{19}\label{eq19} \end{equation} \]

E combinando le (\(\ref{eq18}\)) e (\(\ref{eq19}\)):

\[ \frac{\beta}{2x^2 \sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}} \frac{dx}{dt}  = – \frac{\beta^2}{2x^2} \]

In definitiva si ha:

\[ \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x} -\frac{1}{x_0}}} \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{x_0x}{x_0-x}} \frac{dx}{dt}  = -\beta dt \]

È questa un’equazione differenziale a variabili separabili, dove i due termini si integrano separatamente.
L’integrale a destra è immediato. Quello a sinistra è più complicato: il suo integrale indefinito è:

\[ \frac{\Big[ \sqrt{x}(x-x_0) + x_0 \sqrt{x_0-x}\cdot \arctan\Big( \frac{x}{x_0-x} \Big)\Big] \sqrt{\frac{x_0 x}{x_0-x}}}{\sqrt{x}}\]

Che si semplifica in:

\[ -\sqrt{x_0 x (x_0-x)} + x_0^{3/2} \arctan\sqrt{\frac{x}{x_0-x}} \]

La soluzione completa dell’equazione differenziale è quindi:

\( -\sqrt{x_0 x (x_0-x)} + x_0^{3/2} \arctan\sqrt{\frac{x}{x_0-x}} = -\beta t + \cos t \)

Ora si deve porre la condizione iniziale: \(t = 0, x = x_0 \) per determinare il valore di \(\cos t\).

Il termine a sinistra presenta un asintoto verticale nel punto $x=x_0$. Quindi si deve prendere il limite sul lato sinistro (\(x_{0^-}\)) dell’asintoto:

\( \lim_{x\rightarrow x_{0^-}} \Big[-\sqrt{x_0 x (x_0-x)} + x_0^{3/2} \arctan\sqrt{\frac{x}{x_0-x}} \Big] = \frac{\pi}{2} x^{3/2}_0 == -\beta \cdot 0 + \cos t \)

Ne segue che: \( \cos t = \frac{\pi}{2} x^{3/2}_0 \)

E in definitiva si ottiene:

\[  \begin{equation}t=\frac{\Big[ -\sqrt{x_0x(x_0-x)}+x^{3/2}_0 \Big(\arctan\sqrt{\frac{x}{x_0-x}}-\frac{\pi}{2} \Big) \Big]}{\beta} \tag{20}\label{eq20} \end{equation} \]

Il diagramma di $x = f(t)$ è riportato sotto.

Grafico dell'attrazione solare quando V₀ = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La Terra raggiungerebbe il Sole quando $x = x_S = 6,95 * 10^8 m  text((raggio solare))$ al tempo $t = 63 text(giorni)$.

Il calcolo dell’esperto, riportato all’inizio, pari a 64 giorni, probabilmente si riferisce alla distanza media Sole-Terra e non a quella al perielio che è stata usata nei nostri calcoli.

Di seguito il diagramma della velocità $V = f(x)$, che si deduce dalla (\(\ref{eq19}\)):

Grafico della velocità della terra attratta dal sole (V₀=0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RIFERIMENTI

 

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