Moto di un satellite: problema kepleriano e perturbazioni orbitali

Marco Giancola Moto di un satellite 2

m

r

M

Per la legge di gravitazione universale, la forza che agisce sul satellite è

 

GMm m

   

ˆ ˆ

F r r

2 2

r r



dove = GM, ossia il prodotto della costante di gravitazione universale per la massa del pianeta,

prende il nome di costante gravitazionale planetaria. Dalla formula precedente e dalla seconda

legge della dinamica 

 2

d r



F m 2

dt

ricaviamo:  

2

d r   ˆ (1)

r

2 2

dt r

prima equazione fondamentale dell’astrodinamica.

che è la Per determinare il moto del satellite,

la quale, essendo un’equazione vettoriale differenziale del 2° ordine

occorre integrare la (1)

(equivalente quindi ad un sistema di tre equazioni scalari differenziali del 2° ordine), necessita di

sei condizioni iniziali. Se le condizioni sono note tutte all’istante iniziale, ad esempio la velocità

iniziale e la posizione iniziale (due condizioni vettoriali equivalenti a sei condizioni scalari),

che ammette un’unica soluzione. Se invece le

otteniamo un classico problema di Cauchy,

condizioni sono note in parte all’istante iniziale ed in parte ad un altro istante, otteniamo quello che

si chiama problema di Lambert o problema dei due punti, il quale non è sempre risolvibile.



Premoltiplicando vettorialmente la (1) per , otteniamo:

r  



 

2

d r

    

ˆ

r r r 0

2 2

dt r

Infatti il campo gravitazionale è un campo centrale: l’accelerazione è diretta sempre come il vettore

posizione. Aggiungendo al 1° membro della precedente equazione il termine

2

Marco Giancola Moto di un satellite 3

  

 

d

r d

r

  0

dt dt

si ottiene:      

 

 

  

2

d

r d

r d r d d

r d

r

          

 

r 0 r 0 r cos t h

 

2

dt dt dt dt dt

dt

(con indichiamo una generica costante vettoriale). Quindi il momento angolare (per unità di

cos t 

massa), che abbiamo chiamato , è un integrale primo del moto del satellite. Il piano del moto è

h 



quello individuato, all’istante iniziale, dal vettore posizione e dalla velocità ; pertanto è il

d

r dt

r  

piano passante per il centro del corpo celeste ed ortogonale ad . Poiché è costante (in modulo,

h h

direzione e verso), se ne deduce che anche il piano del moto è costante; quindi il moto kepleriano è

un moto piano.

Si può dimostrare che  



 2

h r

 



dove è la velocità angolare con cui il raggio vettore ruota rispetto al riferimento scelto.

r

Quest’ultima espressione ci servirà per ricavare un altro integrale primo del moto del satellite.



Premoltiplichiamo vettorialmente la (1) per :

h



 

 

2

d r 



      

ˆ ˆ

h h r r

2 2

dt r

Grazie alla formula di Poisson ˆ

 d

r

  

ˆ

r dt

possiamo scrivere: 

 ˆ

2

d r d

r



  

h 2 dt

dt  

d

h d

r



Aggiungendo al 1° membro il prodotto vettoriale nullo abbiamo:

,

dt dt

    

  

 

ˆ ˆ

 

2

d

h d

r d r d

r d d

r d

r d 1 d

r

   

              

ˆ

 

h h r h 0

 



 

2  

dt dt dt dt dt dt dt dt

dt 

 

1 d

r

     

ˆ

r h cos t e

 dt



Il vettore prende il nome di eccentricità.

e

Ora, grazie ai due integrali primi trovati, siamo in grado di determinare la geometria della traiettoria

del satellite. Moltiplicando scalarmente l’eccentricità per il raggio vettore, otteniamo:

3

Marco Giancola Moto di un satellite 4

  

    

 

 

       2

1 d

r 1 d

r 1 d

r 1 h

 

                          

ˆ ˆ ˆ

r e r r h r r r h r r h r r h h r

 

    

 

dt dt dt

   2

  h

      

ˆ

r e r e r 1 r 

Ponendo: 2

h



p 

la precedente equazione diventa: p p

 

 (2)

r   

ˆ

1 e r 1 e cos v





è l’angolo formato da

dove v ed e prende il nome di anomalia vera, mentre la costante p si

e r

è l’equazione parametrica di una conica avente uno dei fuochi

chiama parametro. La (2)

nell’origine del sistema di riferimento concentrico e solidale con il corpo celeste che genera il

campo gravitazionale. La traiettoria di un satellite sul quale agisce l’attrazione gravitazionale di un

unico corpo celeste è dunque una conica di cui il centro del globo occupa uno dei fuochi.

Ricordiamo che l’eccentricità e è il parametro geometrico che distingue le coniche in circonferenza

(e = 0), ellisse (0 < e < 1), parabola (e = 1) e iperbole (e > 1).

Coniche kepleriane

Prendiamo ora in esame l’energia associata scalarmente l’equazione (1)

a tale moto. Moltiplichiamo



d

r dt

per la velocità del satellite:   



2

d

r d r d

r

    ˆ

r

2 2

dt dt

dt r

4

Marco Giancola Moto di un satellite 5

Ponendo: 

 d

r



V dt

il 1° membro dell’equazione può essere scritto nel seguente modo:

 

 

1 d d

r d

r 1 d

 

  2

V

 

2 dt dt dt 2 dt

mentre il 2° membro è uguale a

    

ˆ ˆ

     



 

 

d dr d

r dr d

r dr dr



                 

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

     

r

r r r r r r r r r

     

2 2 2 2 2

dt dt dt dt dt dt dt

r r r r r

Pertanto abbiamo:    

   

 

2 2 2

1 d dr d V d d V V

   

          

 

2

V 0 cos t E

   

 

2    

2 dt dt dt 2 dt r dt 2 r 2 r

r

è l’energia meccanica totale (per unità di massa) del satellite, pari alla somma dell’energia

E

cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale, le quali dipendono rispettivamente dalla velocità e

dalla posizione del satellite. L’energia E rimane costante durante il moto e pertanto, per il teorema

di conservazione dell’energia meccanica, il campo gravitazionale è un campo conservativo.

Si può dimostrare che 

 

E 2 a

la lunghezza del semiasse focale della conica descritta dal moto dell’oggetto orbitante,

essendo a

definita dalla formula p



a  2

1 e 

Quindi l’energia E dipende da tale semiasse (oltre che da ). Osserviamo che, essendo p > 0 (e



ovviamente anche > 0), si ha: e a E

< 1 > 0 < 0

= +∞

= 1 = 0

> 1 < 0 > 0

Pertanto, la conica kepleriana è un’ellisse (o una circonferenza), una parabola o un’iperbole a

 e dall’equazione

seconda che E sia minore, uguale o maggiore di zero. Dalla formula E = - /2a

dell’energia, ottenuta poc’anzi, ricaviamo: 5

Marco Giancola Moto di un satellite 6

 

2

V   

2 r 2 a

da cui si ottiene:  

2 1



 

  (3)

V  

r a

Se la conica è una circonferenza (a = r), la (3) diventa: 

 

2 1



  

 

V

C  

r r r

la velocità di un satellite che percorre un’orbita circolare di raggio

e fornisce r intorno ad un corpo

celeste il cui centro coincide con quello dell’orbita. Tale velocità prende il nome di velocità

circolare o prima velocità cosmica. Il limite superiore delle velocità circolari è dato dalla velocità

(teorica) corrispondente ad un’orbita circolare a quota zero (r è uguale al raggio del pianeta), detta

prima velocità astronautica, che, nel caso della Terra, è pari a circa 7,9 km/s.



Se, invece, la traiettoria è parabolica (a = + ), la velocità del satellite è



 

2 1 2



  

 

V lim

P  

  r a r

a

e, a differenza della velocità circolare, non è costante, dato che, in questo caso, r = r(t), ossia r non

è costante nel tempo. Il valore che assume al pericentro è detto velocità parabolica o velocità di

V P

fuga o anche seconda velocità cosmica, ed è il valore minimo di velocità necessario affinché il

satellite riesca a sottrarsi al campo gravitazionale del corpo celeste, allontanandosi indefinitamente

da esso. La velocità parabolica a quota zero viene chiamata seconda velocità astronautica e, per la

Terra, è uguale a circa 11,2 km/s.

La retta intersezione del piano dell’orbita con un piano di riferimento, che solitamente è quello

I due punti in cui l’orbita interseca tale

equatoriale, viene chiamata asse nodale o linea dei nodi.

asse vengono detti nodi e si distinguono in:

 nodo ascendente: il punto in cui il satellite attraversa il piano di riferimento transitando

dall’emisfero meridionale a quello settentrionale;

 nodo discendente: il punto in cui il satellite attraversa il piano di riferimento transitando

dall’emisfero settentrionale a quello meridionale.

Introduciamo ora i seguenti tre angoli:

– inclinazione dell’orbita: l’angolo formato dai due suddetti piani;

1. i 



ω – l’angolo individuato dalla linea

2. (da non confondere con ) argomento del pericentro:



dei nodi (orientata verso il nodo ascendente) e da ;

e

Ω – l’angolo compreso tra la linea

3. ascensione retta del nodo ascendente: dei nodi (orientata

verso il nodo ascendente) e la semiretta avente origine nel centro del corpo celeste e

1° punto d’Ariete γ,

orientata verso il punto vernale (noto anche come o punto è uno dei due

punti equinoziali in cui l’equatore celeste interseca l’eclittica).

l’eccentricità e l’anomalia vera

Questi tre angoli, insieme al semiasse maggiore a, e v, costituiscono

i sei elementi (o parametri) orbitali kepleriani, che sono i sei parametri necessari per determinare in

maniera univoca l’orbita del satellite. 6

Marco Giancola Moto di un satellite 7

Gli elementi orbitali kepleriani (© NASA)

Ω, ω

Noti, ad un generico istante, gli elementi orbitali a, e, i, e v, è possibile determinare posizione

e velocità del satellite in quell’istante. Infatti, consideriamo un sistema di riferimento inerziale xyz

come quello illustrato nella figura precedente: con l’origine nel centro del pianeta, l’asse x diretto

γ e l’asse coincidente con l’asse di rotazione del pianeta e orientato verso il polo

verso il punto z del raggio vettore dell’oggetto orbitante è ricavabile dalla

nord. Si può dimostrare che il modulo r

seguente formula:  

 

 



 

1 e v

 

   

 

r a 1 e cos 2 arctg tg

 



 

 

1 e 2

 

 

 

7

Marco Giancola Moto di un satellite 8



e che le componenti di rispetto al suddetto sistema di riferimento sono:

r  

   

 

     

 x r cos cos v sin sin v cos i

  

   

 

     

 y r sin cos v cos sin v cos i

  



 

 z r sin v sin i

Orbita del telescopio spaziale Hubble (© NASA)

Le reali condizioni in cui si svolge il moto di un satellite, sia artificiale che naturale (quindi ciò vale

anche per i pianeti e altri corpi celesti), non sono però rigorosamente quelle postulate nella

trattazione del problema dei due corpi, e quindi l’orbita effettiva di un satellite non è esattamente

una conica kepleriana. Ciò è dovuto all’esistenza di vari fenomeni perturbatori, che, nel caso di

oggetti orbitanti attorno alla Terra, sono:

 La non sfericità e non omogeneità della Terra, che determinano distorsioni del campo

gravitazionale terrestre.

 Le forze gravitazionali perturbatrici generate dai corpi del Sistema Solare (il Sole, la Luna e

i pianeti), i cui effetti sul satellite sono inversamente proporzionali alla sua distanza dal

corpo perturbante e direttamente proporzionali alla massa di tale corpo (quindi i più influenti

sono il Sole e la Luna).

 ossia l’attrito provocato dall’atmosfera (anche negli strati più esterni

Il drag atmosferico, 

 2

dove è molto rarefatta), che è espresso dalla formula , dove è il

C

D C Av 2

D D

ρ rispetto all’atmosfera

coefficiente di drag, la densità atmosferica, v la velocità del satellite 

l’area della sua sezione trasversale. Si tratta di una forza avente la stessa direzione di

e A v

   ˆ

D D

v

ma verso opposto: . Il drag presenta effetti molto rilevanti alle basse quote (in

particolare, sotto i 1000 km) e determina una riduzione della velocità del satellite, e

conseguentemente una diminuzione dell’asse maggiore (e quindi anche della quota), e una