Ancora sui criteri di divisibilità

Talvolta può essere utile conoscere i divisori di un numero senza effettuare le divisioni, anche se la diffusione delle calcolatrici rende sempre più facile eseguire ripetuti tentativi di individuazione dei divisori semplicemente facendo varie divisioni e verificando se i risultati sono o meno numeri interi.
Tuttavia fino a qualche tempo fa (e forse qualcuno lo fa ancora ora) era possibile conoscere i divisori di un numero applicando i cosiddetti “criteri di divisibilità”, ossia eseguendo particolari algoritmi che consentono di sapere se il numero di partenza è divisibile per altri numeri senza effettuare la divisione.
I criteri di divisibilità però non sono disponibili per tutti i numeri, alcuni sono più facili da applicare, altri più difficili; ad esempio il criterio di divisibilità per il numero 2 è semplicissimo: se il numero di partenza è pari allora è divisibile per 2. Un po’ più complicato è il criterio di divisibilità del 3: occorre sommare tutte le cifre del numero di partenza, se il risultato è divisibile per 3 allora lo era anche il primo numero. Se il numero ottenuto come somme delle cifre è ancora troppo grande per capire se è un multiplo di 3 si può ripetere il passaggio precedente più volte fino ad ottenere un numero sufficientemente piccolo. Ad esempio supponiamo di voler sapere se 12.345.678.901 è divisibile per 3: sommiamo le sue cifre, otteniamo 46, ripetiamo la somma per 46, otteniamo 10 che non è divisibile per 3, quindi neppure 12.345.678.901 lo era.
Altri criteri di divisibilità comuni sono quelli per il 5 (se il numero di partenza finisce con 5 o 0 è divisibile per 5) e per l’11 (se la differenza fra la somme delle cifre di posto pari e quelle di posto dispari del numero di partenza è 0, 11 o un multiplo di 11 allora è divisibile per 11).
Inoltre esistono criteri un po’ più complicati per il 7, il 13 e il 17.
In realtà è possibile avere dei criteri di divisibilità per tutti i numeri. Questi algoritmi si basano sul criterio di divisibilità del 7 che quindi vedremo più in dettaglio.

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