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Cosa sono i numeri primi
Per definizione, i numeri primi sono numeri interi positivi aventi come divisori solamente due numeri distinti, ovvero[math]1[/math]
e sé stesso. In altre parole, un numero primo è tale per cui debba essere divisibile per [math]1[/math]
e per sé stesso. Diversamente, un numero che abbia più di due divisori viene detto numero composto.I numeri primi sono infiniti, e la successione dei numeri primi è composta inizialmente dai seguenti numeri:
[math]2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...[/math]
Esempi di numeri composti sono, invece, i seguenti:
[math]4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, ... [/math]
Infatti, è possibile notare che, tramite la scomposizione in fattori primi, i numeri composti sono in realtà il risultato del prodotto dei numeri primi:
[math]4 = 2 \cdot 2[/math]
[math]6= 2 \cdot 3[/math]
[math]15= 3 \cdot 5[/math]
[math]18 = 2 \cdot 3 \cdot 3[/math]
[math]22 = 2 \cdot 11[/math]
[math]...[/math]
I numeri primi sono estremamente importanti per la teoria dei numeri e hanno da sempre interessato gli studiosi. Sin dall’antichità sono stati oggetto di studio. Basti pensare che persino gli antichi Greci hanno posto l’attenzione sui numeri primi è una testimonianza di ciò l’abbiamo negli Elementi di Euclide, scritti attorno al
[math]300[/math]
a.C.Tuttavia, ad oggi diverse congetture relative al mondo dei numeri primi non sono state dimostrate, e a più di un secolo dalla loro formulazione abbiamo l'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach e quella dei primi gemelli.
Proprietà dei numeri primi
Il primo numero primo è il[math]2[/math]
, numero pari, mentre tutti gli altri che seguono sono dispari. Diversamente da quanto penseremmo, paradossalmente, il numero
[math]1[/math]
non rientra tra i numeri primi. Questo perché l’[math]1[/math]
nella fattorizzazione in numeri primi, diversamente dagli altri fattori, si può ripetere infinite volte perché moltiplicando un numero per [math]1[/math]
si ottiene nuovamente [math]1[/math]
.Dal teorema fondamentale dell’aritmetica sappiamo che per ogni numero esiste una e una sola scomposizione in fattori primi, ovviamente ad eccezione dell’ordine in cui poniamo i fattori che per via della proprietà commutativa del prodotto non influisce sul risultato finale.
Il motivo per cui
[math]1[/math]
non è numero primo è proprio il seguente: dal momento che nella scomposizione potremmo aggiungerlo infinite volte, si è convenuto a non considerarlo numero primo per non far perdere l’unicità della scomposizione in fattori primi.
Come riconoscere i numeri primi
Il test di primalità permette di riconoscere se un certo numero sia primo oppure no. Per riconoscere i numeri primi innanzitutto possiamo sfruttare a nostro favore i criteri di divisibilità per riconoscere tutti quei numeri che sono divisibili per certi numeri primi e quindi escluderli.Ad esempio, tutti i numeri primi pari eccetto
[math]2[/math]
non sono numeri primi, in quanto sarebbero divisibili oltre che per [math]1[/math]
e per sé stessi quantomeno anche per [math]2[/math]
.Tutti i numeri che terminano per
[math]5[/math]
non sono numeri primi oppure tutti i numeri la cui somma delle cifre è multipla di [math]3[/math]
, eccetto [math]3[/math]
, non sono numeri primi.In questo contesto, ci torna molto utile la tabella dei numeri primi, che prevede un elenco di tutti i numeri primi fino ad un certo valore massimo. Ad oggi, gli infiniti numeri primi possono essere identificati con diverse formule e algoritmi, più o meno efficienti. Il numero primo più grande individuato finora sinora contiene
[math]24862048[/math]
cifre.Un primo approccio, basato sulla definizione e molto lungo, per verificare se un numero è primo o no è quello di andare a controllare che il numero in questione
[math]n[/math]
non sia divisibile da nessun numero primo minore di [math]n[/math]
. Per esempio per verificare che il numero [math]17[/math]
sia un numero primo, basta osservare che non viene diviso dai numeri [math]2[/math]
, [math]3[/math]
, [math]5[/math]
, [math]7[/math]
, [math]11[/math]
, e [math]13[/math]
.
Un altro approccio, invece, è il crivello di Eratostene, un metodo antico focalizzare sull'individuazione dell'insieme dei numeri primi compresi fra due numeri naturali. Il metodo tiene conto dell'insieme dei numeri naturali compresi tra
[math]2[/math]
e [math]x[/math]
, ed esclude i multipli dei numeri primi individuati in precedenza. In termini di interpretazione geometrica, i numeri primi sono quei numeri che, a differenza dei numeri composti, non possono essere rappresentati come rettangoli composti da
[math]n[/math]
quadratini in cui i lati sono maggiori di [math]1[/math]
. Ad esempio, il numero [math]16[/math]
non è primo, perché può essere rappresentato come un rettangolo avente dei lati di misura [math]4[/math]
e [math]4[/math]
, invece il numero [math]23[/math]
è un numero primo, perché non ammette nessuna rappresentazione geometrica di questo tipo. Un altro noto test di primalità è quello di Rabin - Miller, il quale consiste in un algoritmo per determinare se un numero intero è primo. La sua versione originale, dovuta a Gary Miller, è deterministica, successivamente l'algoritmo è stato rielaborato in chiave probabilistica da Michael Rabin, analogamente al test di Fermat e al test di Solovay-Strassen. L'approccio prevede un costo computazionale più moderato e i calcoli da effettuare sono di carattere polinomiale.
I numeri primi sono considerati rilevanti e cruciali in molti ambiti della matematica, dalla matematica pura come ad esempio l'algebra o la geometria, fino ad arrivare ad ambiti quali la matematica applicata, come in particolare nella crittografia.
Per ulteriori approfondimenti sui numeri primi e l'ipotesi di Riemann vedi qui
Per ulteriori approfondimenti sui numeri primi e i criteri di divisibilità vedi qui
