Generazione di terne pitagoriche

Giuseppe Ferrero

1 2 3 4 5 a b c (b+c)= a²
pari dispari (p+d) (n+1)  (n+1) dispari pari dispari dispari
N N+1 (b+c) (a²-1)½ (a²+1)½
0 1 1
2 3 5
4 5 9 9 3 3 4 5 9
6 7 13
8 9 17
10 11 21
12 13 25 25 5 5 12 13 25
14 15 29
16 17 33
18 19 37
20 21 41
22 23 45
24 25 49 49 7 7 24 25 49
26 27 53
28 29 57
30 31 61
32 33 65
34 35 69
36 37 73
38 39 77
40 41 81 81 9 9 40 41 81
42 43 85 riscontro l'osservazione di carlo Pezzoli del 22/1009 perchè negli stessi giorni stavo allargando le mie osservazioni sugli universi pari e dispari dei N.naturali ed o riscontrato quanto verosimilmente altri,più acutamente avevano visto.
Intanto,osservate la tabella in excel che ho rappresentato e vedrete che la somma in orizzontale dei pari e disparinnell'ordine che ho indicato danno come risultato una serie aritmetica di numeri disparidi ragione 4, e vedete che nella colonna somma p+d troverete dei quadrati perfetti che si distanziano sempre più diradandosi con l'aumentare dei numeri.
Le radici di codesti quadrati generanola serie dei numeri naturali dispari 1-3-5-7 ........
Osserverete,e non so se prima di Gauss non vi sia arrivato il sommo Pitagora(non lo escludo).
Vedete che da tale serie dispari si generano le coppie che ho indicato in tabella e che completano le terne.
Caso particolare è rappresentato dalla terna O/1/1 che non soddisfa il teorema di Pitagora perchè non si è mai visto un triangolo di tre lati di cui uno con valore zero(0).
Gloi attribuirei piuttosto un significaato filosofico ,come lo hanno i primi numeri naturali fino al 5 che si tramanda sia stato la cifra magica della scuola pitagorica.
Ritornando allo zero mi piace pensare che a differenza degli altri numeri pari non si lascia né unire né sommare ad alcunchè perchè dal nulla non si può generare qualcosa e quindi la questione dà luogo a due domande:
ciò che esiste non esisteva ed allora ecco la Creazione inspiegabile,oppure ciò che esiste(l'Uno non generato)esiste da sempre ed è Eterno.
Cordialità.
da Borgone li,24/10/09

Carlo Pezzoli

Non capisco il motivo per cui non è stata inserita la tabella che mette in ordine tutte le terne pitagoriche primitive, seguendo il calcolo proposto. Eccola di nuovo, con la corrispondenza dei numeri di Gauss da togliere ed aggiungere alle due metà del quadrato dispari di base:
-+0 -+4 -+12
3-4-5
5-12-13 15-8-17
7-24-25 21-20-29 25-12-37
L'esiguità delle spazio non mi permette di continuare con gli altri quadrati dei numeri dispari. Grazie dell'attenzione

Joseph

ho trovato che è possibile trovare le terne pitagoriche senza introdurre i quadrati che sono solo una verifica.
si scrivano due successioni di numeri pari e dispari.poi,si prenda la prima coppia di numeri dispari. 3 e 5 ; indi si sommino e si faccia il prodotto sicchè si ha una prima coppia di numeri pitagorici che sono. 8 e 15 mentre il terzo è 15+2=17.
verifica;8*8+15*15=289 che ha radice 17.
tale teorema o metodo vale per tutte le coppie successive sia pari sia dispari.se infatti procedete con 5+7=12 e 5*7=35 l'ipotenusa è 35+2= 37 e così via.

Mario Fiorio: Mario.fiorio@ti

Le invio una possibile dimostrazione della Cardinalità delle Terne Pitagoriche
Card (a.b.c.) =À0

In ogni caso è possibile trovare le terne con la strategia indicata:
1. pesa una qualunque coppia (m,n) di numeri interi, si genera la coppia “inversa” (r n, r m) con r qualunque appartenente ad N:
2. si esegue la somma delle due frazioni ottenute, si assume ovviamente prodotto = 1
3. si scrive l’equazione di secondo grado con l’incognita ausiliaria t e la si risolve
4. la forma risolutiva c±Ö (c2- b2) / b costituisce la Terna pitagorica.

Esempio
m=5 ,n=7 Þ m / n = 5 / 7 ; assunto r = 1 Þ n / m = 7 / 5
m / n + (r n) / (r m) = 74 / 35
t2 - 74 /35 t +1 = 0 Þ 35 t2 - 74 t + 35 = 0 Þ equazione reciproca di secondo grado
t 1 , 2 = 74 ±Ö ( 5476 – 4*35*35) /70 Þ 74 ±Ö (576) /70 Þ (74 ±24) /70

a = 24, b= 70 , c = 74 è una Terna Pitagorica.

N:B: Utilizzando la “formula ridotta” si trovava la terna primitiva a= 12, b = 35, c = 37.


Viceversa da qualunque Terna Pitagorica è possibile trovare la frazione m / n .

Sia a = 799, b = 960, c = 1249 (una terna del suo sito)
960 t2 - 2*1249 t + 960 = 0 Þ equazione reciproca di secondo grado Þ
t 1 , 2 = 1249 ±Ö ( 12492 –9602) /960 Þ (1249 ±799) /960 Þ
t 1 = m / n = 32 / 15 t 2 = 15 / 32 c.v.d.


In ogni caso quasi tutte le terne si possono ottenere in modo molto semplice (oltre a quello sopra descritto) :
Si sceglie un numero naturale = a

Se dispari si applica la procedura:
1) si esegue il quadrato e lo si divide per due
2) si approssima per difetto (b) e per eccesso (c).

Esempio a = 17 Þ 172 = 289 Þ 289 / 2 = 144,5
Approssimando per difetto b = 144
Approssimando per eccesso c = 145
17, 144, 145 sono Terna pitagorica 172 + 1442 = 1452 Þ 289 + 20736 =21025 c.v.d.

Se pari si applica la procedura:
1) si esegue il quadrato e lo si divide per quattro
2) si prende il precessore (b) e si prende il successore 1 (c).

Esempio a = 18 Þ 182 = 324 Þ 324 / 4 = 81
Processore di 81 b = 80
Successore di 81 c = 82
18, 80, 82 sono Terna pitagorica 182 + 802 = 822 Þ 324 + 6400 = 6724 c.v.d.

E’ comunque facile verificare che queste terne sono sempre elementi dell’equazione reciproca di 2°

17,144,145 Þ 144 t2 - 2*145 t + 144 = 0 Þ equazione reciproca di secondo grado Þ
t 1 , 2 = 145 ±Ö ( 1452 –1442) / 144 Þ (145 ±17) /144 Þ
t 1 = m / n = 9 / 8 t 2 = 128 / 144 = (16 *8) / (16*9) c.v.d.


18, 80, 82 Þ 80 t2 - 2*82 t + 80 = 0 Þ equazione reciproca di secondo grado Þ
t 1 , 2 = 82 ±Ö ( 822 –802) / 144 Þ (82 ±18) /80 Þ
t 1 = m / n = 5 / 4 t 2 = 64 / 80 = (16*4) / (16*5) c.v.d.