Sommario
Queste note descrivono la scoperta (ma è tale?) del tutto casuale del rapporto aureo tra alcune superfici legate in qualche modo al numero d'oro.
L'anno scorso ho pubblicato un libro sulla Trigonometria1 e mi sono deciso ad apportare dei miglioramenti e delle piccolissime correzioni.
In particolare voglio aggiungere qualcosa sul rapporto aureo. Ho pensato quindi alla costruzione, da una figura semplice data, di un segmento che diviso per un segmento unitario dia il famoso numero d'oro.
[caption id="attachment_18856" align="alignleft" width="571"] Figura 1: Costruzione segmento di misura
Partendo dal rettangolo
Infatti dal triangolo
( AH = HGcot alpha = cot alpha = frac{1 + cos 2alpha}{\sin 2alpha} = = frac{1+frac{1}{\sqrt{5}}}{frac{2}{\sqrt{5}}} = frac{1 + \sqrt{5}}{2} = phi )
dove le espressioni di (\sin 2alpha) e di (cos 2 alpha) sono dedotte dal triangolo
[ phi = 1 + frac{1}{phi} Leftrightarrow phi^2 - 1 = phi ]
[caption id="attachment_18855" align="alignleft" width="615"] Figura 2: Tre superfici (corona circolare esterna, corona circolare centrale, cerchio centrale) in rapporto aureo
Dopo aver completato il disegno e il calcolo mostrato prima, ho cominciato a disegnare tre circonferenze concentriche con raggi rispettivi (in ordine decrescente):
Calcolo le aree di alcuni cerchi e corone circolari (non tutte mostrate in figura 2):
- [math]A_0[/math](cerchio di raggio[math]\phi[/math]):[math]\pi \phi^2[/math]
- [math]A_1[/math](corona circolare di raggi[math]\phi[/math]e[math]1[/math]):[math]\pi \phi^2 - \pi \cdot 1^2 = \pi (\phi^2-1) = \pi \phi[/math]
- [math]A_2[/math](cerchio di raggio[math]1[/math]):[math]\pi[/math]
- [math]A_3[/math](corona circolare di raggi[math]1[/math]e (1/phi)):[math]\pi (1^2 - 1/\phi^2)=\pi (\phi^2-1)/\phi^2 = \pi \phi/\phi^2 = \pi/\phi[/math]
- [math]A_4[/math](cerchio di raggio (1/phi)):[math]\pi/\phi^2[/math]
- [math]A_5[/math](corona circolare di raggi (1/phi) e (1/phi^2)):[math]\pi (1/\phi^2-1/\phi^4)=\pi((\phi^2-1)/\phi^4)=\pi \phi/\phi^4=\pi/\phi^3[/math]
- [math]A_6[/math](cerchio di raggio (1/phi^2)):[math]\pi/\phi^4[/math]
- [math]...[/math]
- [math]A_k = \pi/\phi^{k-2}=\pi \phi^{2-k}[/math]
[ frac{A_0}{A_1} = frac{A_1}{A_2} = frac{A_2}{A_3} = ldots = frac{A_{k-1}}{A_k} = phi ]
cosa straconosciuta e molto trattata nei manuali e in innumerevoli articoli per le dimensioni lineari e non per le superfici. Per questo la cosa mi ha incuriosito non poco ed ho esitato molto a scrivere queste brevi note, controllando a destra e a manca se non fosse stato scritto qualcosa in proposito. Ma non ho trovato niente.
In effetti la successione precedente definisce due successioni separate:
- (con [math]k[/math]pari) cerchi[math]C_k[/math]aventi raggi[math]r_k = \phi^{k-1}[/math]e area[math]A_k = \pi \phi^{2-k}[/math]
- (con [math]k[/math]dispari) corone circolari[math]c_s = A_((k+1)/2)[/math]aventi raggi[math]r_k = \phi^{k-1}[/math]e[math]r_(k+1) = \phi^{k-2}[/math]con area[math]c_s = \pi \phi^{1-s}[/math]
[ frac{C_h}{C_{h+1}} = frac{piphi^{2-k}}{piphi^{2-(k+2)}} = phi^2 ,,,, mbox{ e } ,,,, frac{c_h}{c_{h+1}} = frac{pi phi^{1-k}}{pi phi^{1-(k+2)}} = phi^2 ]
Qualcosa di interessante si trova pure considerando dei dischetti (cilindri, anche opportunamente bucati o trasformati in anelli) di altezza costante e raggi successivi (phi, 1, 1/phi, 1/phi^2, ldots ) lascio il divertimento al lettore ormai (spero) incuriosito!
Note
- Raffaele Santoro, Trigonometria - Per neo peofessori di Matematica, studenti e appassionati, RSEdizioni, 2017, venduto da Amazon. â