Funzioni sui numeri interi, curiosità e applicazioni

articoli66.jpgQuesto studio riguarda alcune funzioni matematiche sui numeri interi. Si tratta di funzioni molto semplici ma che hanno importanti applicazioni pratiche. L’idea di fondo è quella di raccogliere una serie di dati e informazioni sul tema, affrontandolo con un approccio un po’ diverso dal solito. Il testo è corredato da una tabella relativa ai primi 200 numeri interi, che riporta per ciascun numero il valore relativo alle diverse funzioni esaminate.

ico-pdf.png Scarica tutto l’articolo di Stefano Borgoni, Funzioni sui numeri interi, curiosità e applicazioni.

Un estratto dell’articolo. 

NUMERI PERFETTI In primo luogo, s (n) richiama i cosiddetti “numeri perfetti”, definiti – per l’appunto – come numeri equivalenti alla somma dei propri divisori. In altre parole, un numero n è perfetto se vale la relazione n = s (n). I numeri perfetti furono studiati sin dall’antichità: un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato poi da Euclide afferma che se 2n – 1 è un numero primo, allora m = 2n-1 (2n – 1) è un numero perfetto. Successivamente, Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono avere tale forma. Ma i numeri esprimibili come 2n – 1 con n primo sono i ben noti “numeri primi di Mersenne” , per cui si può dire che ciascuno di essi dà sicuramente origine a un numero perfetto. Al momento, si conoscono solo 47 numeri primi di Mersenne e, di conseguenza, 47 numeri perfetti; il più grande tra questi è formato da quasi 26 milioni di cifre! Aggiungiamo l’elenco dei primi cinque numeri perfetti: 6, 28, 496, 8.128 e 35.550.336. Tra le altre proprietà dei numeri perfetti, si può ricordare che essi sono anche triangolari, visto che si possono scrivere nella forma k (k+1) / 2, che è appunto la formula per trovare il k-esimo numero triangolare. Inoltre, è facile dimostrare che tutti i numeri perfetti del tipo sopra indicato terminano per 6 o per 8.

NUMERI AMICHEVOLI Sempre a partire dalla funzione s (n) si ottengono i cosiddetti “numeri amichevoli” , ossia coppie di numeri tali che la somma dei divisori dell’uno è uguale all’altro e viceversa. Sinteticamente, a e b sono numeri amichevoli se a = s (b) e b = s (a).

NUMERI SOCIEVOLI Un’estensione immediata dei numeri amichevoli è data dai “numeri socievoli” (in inglese “sociables”), gruppi di numeri che formano una catena di relazioni tale per cui il primo è pari alla somma dei divisori del secondo, il secondo è pari alla somma dei divisori del terzo e così via fino all’ultimo, che chiude il cerchio.

NUMERI FIDANZATI Infine, applicando la stessa regola dei numeri amichevoli ma non considerando l’1 nella somma dei divisori, si ottengono i “numeri fidanzati”.

Numeri difettivi Si tratta dei numeri maggiori della somma dei propri divisori. In altre parole, un numero n è difettivo se n > s (n). E’ facile verificare che tutti i numeri primi e le loro potenze sono numeri difettivi. Inoltre, tutti i divisori propri dei numeri difettivi e dei numeri perfetti sono a loro volta difettivi. Esempi di numeri difettivi sono 9, 17, 26, 76, 133.

Numeri abbondanti Al contrario di quanto appena visto, i numeri abbondanti sono quelli inferiori alla somma dei propri divisori, cioè i numeri per cui vale la relazione n < s (n).

Numeri altamente composti I numeri altamente composti sono numeri che hanno più divisori di qualsiasi intero positivo minore. Riprendendo quanto detto nel paragrafo 1.1 a proposito della fattorizzazione, se n = p1a p2b … pnz, allora la somma dei divisori di n sarà (a+1) (b+1) … (z+1).

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