EQUAZIONI DI FERMAT-PELL - FORMULE RISOLUTIVE GENERALI DI BHASKARA II E DI ONOFRIO GALLO – Approssimazione diofantea -Problema dei Buoi di Archimede
Riportiamo sinteticamente dal Codex Cervinarensis del matematico italiano Onofrio Gallo ( n. 1946 a Cervinara in Valle Caudina) quanto segue colmando -una volta per tutte- una notevole lacuna sul WEB sulle teamtiche trattate.
EQUAZIONI DI FERMAT-PELL DEL I TIPO
Sono espresse dalle equazioni diofantee di secondo grado (FP1/N) y^2 –Nx^2 =1 con N intero positivo e non quadrato perfetto ed esse ammettono sempre soluzioni diofantee (intere positive, a partire dalla soluzione fondamentale (x1,y1) ossia dalla minima soluzione intera e positiva; Il che non sempre si verifica per le EQUAZIONI DI FERMAT-PELL DEL II TIPO
espresse dalle equazioni diofantee di secondo grado (FP2/N) y^2 –Nx^2 = -1.
Infatti, se (x1,y1) soluzione fondamentale della (FP1/N) y^2 –Nx^2 =1, allora tutte le sue soluzioni intere e positive sono ottenibili mediante la formula binomiale xn+ynN= (x1+y1N)^n per n variabile nell’insieme infinito dei numeri naturali positivi N+=(1,2,3,…..), per cui, come affermò Fermat(senza dimostrarlo) le equazioni del tipo(FP1/N) y^2 –Nx^2 =1 ammettono infinite soluzioni: per calcolarle basta sviluppare la potenza del binomio ed uguagliare le parti razionali e i coefficienti presenti nella corrispondente uguaglianza; per n=2 – ad esempio- è facile verificare che, risultando x2+y2N= (x1+y1N)^2 = (x1^2+Ny1^2) + (2 x1y1) N, risulta x2=(x1^2+Ny1^2)^2 ed y2=2x1y1, per cui, essendo x2^2 –Ny2^2)^2 =1, anche (x2, y2) è una soluzione della (FP1/N).
Lo stesso teorema si applica (FP2/N) y^2 –Nx^2 = -1 con l’avvertenza di far variare questa volta n in 2N+1 (insieme dei numeri naturali dispari) = (1,3,5,7,….)
Tali equazioni sono apparse in diverse circostanze nella Storia della Matematica e la loro importanza appare collegata fondamentalmente a) con problemi di approssimazione diofantea ( caso degli irrazionali quadratici come N , con N intero positivo e non quadrato perfetto) che condusse da un lato ai risultati di P. A. Cataldi (1552-1626),, bolognese, il primo matematico che riuscì a creare un algoritmo in grado di approssimare mediante lo sviluppo in frazioni continue gli irrazionali quadratici, illustrato nel suo Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri… (del 1613) il quale introduce per primo in Europa le frazioni continue per il calcolo della radice quadrata di numeri naturali N ( non nulli e non quadrati perfetti) presentando un accorgimento che “accelera” la convergenza delle cosiddette “ridotte” di una frazione continua alla frazione generatrice di un valore approssimato di N con un certo numero di cifre decimali esatte
Tuttavia i matematici - per quasi quattro secoli e ad ogni latitudine- non hanno potuto fare a meno di ricorrere in modo sistematico ai metodi “indiani” oppure alle frazioni continue per risolvere le equazioni diofantee (FP/N) nel caso k=2, anche se entrambi tali metodi sono poco “maneggevoli” per calcolare la radice quadrata “approssimata” di N ( ad esempio, mettiamo pure con un numero r=9 di cifre decimali) per la quasi totalità degli addetti ai lavori, anche oggi.
Nel campo delle approssimazioni diofanteee razionali di valori irrazionali degni di nota sono stati i risultatai ottenuti dal matematico inglese A. Baker (n. 1939), già solutore del VII problema di Hilbert ed una delle massime autorità sulle approssimazioni diofantee,che stabilì un criterio generale di trascendenza (1966), relativo ai numeri reali e complessi, ottenendo notevoli risultati sulle funzioni esponenziali, nonché sulla cosiddetta “classificazione di Mahle” dei numeri trascendenti, come conseguenza dei risultati ottenuti nella teoria delle equazioni diofantee relative ad alcune classi di tali equazioni, come le “equazioni di Bachet” y2 = x3 + k ( mutando x i n y si ottiene l’equazione di Mordell x2 - y3= k ) e, più in generale, le cosiddette “equazioni iperellittiche” y2 = f(x) con f(x) polinomio irriducibile di grado n>2 a coefficienti interi.
Ma il “metodo di Baker” impone varie minorazioni per la seguente somma di prodotti (PB)£ i ± i logbi per i =1,2,…., di numeri algebrici ± i e bi non tutti nulli e linearmente indipendenti.
La (D) viene utilizzata anch’essa, come il (PB) di Baker, nella teoria delle : un insieme di studi e di procedure che conducono a la tra una frazione razionale m/n ed un numero irrazionale ± , in altre parole a risolvere il problema (AD) ± - m/n= 8); b) la risoluzione di taluni “difficili” problemi diofantei o di Analisi Indeterminata o Diofantea, il cui tipico rappresentante è il cosiddetto “Problema dei Buoi “ , a suo tempo proposto da Archiìmede ad Eratostene e- tramite quaest’ultimo- ai matematici di Alessandria d’Egitto. Infatti il problema di Archimede in questione è rappresentato dall’ equazione di Fermat-Pell (FP// 4 729 414) y ^2 - 4 729 414 x^2=1, risolto nel 1880 da A. Amthor che si servì dello sviluppo del binomio xn+ynN= (x1+y1N)^n fino a valori di n=2329 ottenendo in tal modo soluzioni costituite da ben 206 545 cifre, a partire dalla soluzione (t,u)=(y,x) della (FP// 4 729 414) con t formato da 45 cifre e con u formato da 41 cifre, dell’equazione.
La soluzione di Amthor fu confermata nel 1895 dal matematico americano A:H. Bell. A tal proposito – lo stesso K. F. Gauss, secondo E.L.Dickson, stando “all’autorità di K.B. Mollweide”, secondo quanto riferito nel 1828 dal matematico G. Hermann , avrebbe risolto il problema di Archimede in modo non del tutto conforme, se non imponendo cioè x+y= (a^2(a-b))^2, motivo fotrse per il quale Gauss non pubblicò mai la “sua” soluzione del detto problema.
Altri autori hanno proposto le “loro” soluzioni, disscostandosi dall’enunciato originale archimedeo, imponenedo dei “limiti” di varia natura e in vari modi, basati su motivi anche i più impensabili.
Ma il “Problema dei buoi” nella sua forma classica originale non potrebbe sarebbe “un problema di Archimede”, se esso non fosse fatto della stoffa tessuta dalla logica di Archimede: una logica che, per quanto euclidea, ai più appare molto sottile e inoltre davvero ai limiti della portata del calcolo “umano” nel corso di circa due millenni.
E non si creda, erroneamente, che, anche ai nostri giorni, che ad un matematico sia sufficiente ricorrere al calcolo elettronico per avere facilmente ragione del problema proposto dal siracusano Archimede come “sfida” ai matematici di Alessandria d’Egitto, visto che Archimede non era affatto un “accademico” alessandrino e tenuto conto del modo in cui effettuava le sue ricerche di matematica pura ed applicata.
Ne è un chiaro esempio: la difesa della città di Siracusa dalla flotta romana al comando del console Marcello attuata da Archimede con sistemi di leve, carrucole, pulegge, e macchine belliche ( catapulte giganti, ganci-gru giganteschi e, secondo una tradizione che sprofonda nel mito, persino con gli antenati delle guerre stellari, i famosi specchi ustori, precursori, a livello concettuale, dello stesso principio di coerenza della luce alla base del laser.
A proposito del testo archimedeo riportiamo , dagli Excerpta (I, 22) , il parere di Onofrio Gallo
“Come spesso accade, dal testo del Problema dei buoi si possono enucleare alcune delle idee portanti relative alla “personalità matematica” di Archimede, tra esse le seguenti:
1. la costante presenza nella mente di Archimede della teoria delle proporzioni di Eudosso di Cnido;
2. il sommo “piacere matematico” derivante dall’affrontare “problemi” che “devono” risultare ai limiti delle possibilità logiche e/o del calcolo(come in questo caso), sfiorando l’impossibilità totale, per gli altri matematici del suo tempo, la cui “chiave” di risoluzione è ben custodita nelle sue ricerche ( in questo caso le difficoltà di calcolo nascono anche per la per gli altri matematici suoi contemporanei di poter disporre delle scoperte fatte da Archimede nel suo Arenario: in sostanza la mancanza di un sistema di numerazione che contempli numeri elevatissimi, dell’ordine della metà del meganumero di Stanley Skewes 10exp[ 10 exp1034)], con 10 exp t =10t, che nel 1933 sostenne che il numero di numeri primi stimato con la formula del logaritmo integrale di Gauss era sottostimato;
3. una ulteriore dimostrazione della logica stringente di Archimede è il modo con cui egli le proporzioni che appaiono nel problema e che rivelano altresì la sua convinzione di fondo sul ruolo dei in problemi di grande importanza e difficili per lui , ma “quasi o del tutto “ impossibili per gli altri.
4. la sensazione che tale problema possa aver innescato (ma qualcuno vi potrebbe anche scorgere una “diretta” conseguenza, in termini di applicazione della teoria numerica presentata per la prima volta al mondo nel suo Arenario) la risoluzione del problema “impossibile” della rappresentazione ( e quindi della creazione) di un nuovo e originalissimo sistema di numerazione adatto non solo per il caso specifico (risoluzione del Problema dei Buoi), ma forse anche per il problema-tangram (calcolo combinatorio geometrico vincolato) che appare nel suo libello Stomachion (in quanti modi 14 pezzi irregolari poligonali piani possono comporre un quadrato?) la cui soluzione è 17 152 e fu trovata dal programmatore americano Bill Cutler; in seguito (dicembre 2003) la stessa soluzione fu trovata dai matematici californiani Persi Diaconis e sua moglie Susan Holmes ( laureata in Statistica)di Stanford e Ronald Graham e Fan Chung di San Diego.
Ma, più in generale, ed è questo uno dei rari casi se non l’unico, in cui Archimede tende a generalizzare, il suo sistema numerico doveva servire ad ampliare a dismisura e a volontà il calcolo aritmetico dei suoi tempi e di quelli successivi.
In ogni caso, se di applicazione si tratta, si deve arguire senza dubbio che il Problema dei buoi proposto agli “alessandrini” tramite Eratostene non solo fu ideato, ma anche risolto dallo stesso Archimede;
5)ma c’è di più: molto probabilmente il fatto che la lettera contenente il Problema dei buoi sia stata volutamente indirizzata ad Eratostene, piuttosto che a Dositeo (tenuto conto che Conone, il suo maestro, che egli ammirava molto, era già morto e che l’Arenario è quasi certamente un’opera della sua “maturità”), sta ad indicare che, altrettanto quasi certamente, Archimede sia venuto a conoscenza dell’impresa compiuta dallo stesso Eratostene relativa alla misurazione della circonferenza terrestre e della probabile vasta “eco2 suscitata negli addetti ai lavori da tale impresa.
In questa ipotesi, la concezione dell’Arenario potrebbe essere stata innescata non dal Problema dei buoi, bensì proprio dall’eccezionale impresa compiuta da Eratostene, al fine di dimostrare, ancora una volta, come, in realtà, per lui tale impresa non era che matematica “ordinaria”, in altre parole , un’impresa, quella di Eratostene, che ogni buon matematico dei suoi tempi avrebbe potuto portare a termine.
Ergo, in questo caso, come in vari altri, per Archimede (al termine delle sue ricerche sui grandi numeri confluite nell’Arenario) risulta conseguenziale “sfidare” gli “alessandrini” a risolvere il “suo” problema, se ne sono capaci, e se non vogliono essere definiti (da lui, supremo giudice della matematica dei suoi tempi) ignoranti o non del tutto provetti nella scienza.
Insomma Eratostene, se questa ipotesi è vera, potrebbe essere stato la “goccia” che avrebbe fatto traboccare il vaso della “sapienza” numerica di Archimede…nell’Arenario!”
Ed ecco il “testo” del celebre problema che Archimede inviò in forma di epigramma agli esperti di Alessandria d’Egitto in una lettera ad Eratostene di Cirene :
“ Amico, se partecipi della sapienza, calcola, usando diligenza, qual era il numero dei buoi del Sole che pascolavano nelle pianure della sicula Trinacria, divisi in quattro gruppi di colore diverso: l’uno bianco come il latte, il secondo di color nero lucente, il terzo fulvo, il quarto maculato.
In ciascun gruppo c’erano tori in quantità, divisi secondo la seguente proporzione: immagina, o amico, che i bianchi fossero in numero uguale ad una metà più un terzo dei neri, più tutti i fulvi; e che i neri fossero in numero uguale alla quarta parte più un quinto dei maculati, più tutti fulvi. Considera inoltre che i restanti maculati fossero in numero uguale alla sesta parte più un settimo dei tori bianchi più tutti i fulvi.
Per le vacche valga questo: le bianche erano in numero uguale alla terza parte più la quarta di tutt i bovini neri, le nere erano in numero uguale alla quarta parte più la quinta di tutti i bovini maculati, le maculate erano in numero uguale alla quinta parte più la sesta di tutti i bovini fulvi, e le fulve erano in numero uguale alla metà della terza parte più un settimo di tutti i bovini bianchi.
Amico, se tu dirai veramente quanti erano i buoi del Sole, quale era il numero dei ben pasciuti tori e quante erano le vacche di ciascun colore, nessuno dirà che sei ignorante o inesperto sui numeri: tuttavia non sarai ancora annoverato tra i sapienti.
Ma ora osserva come tutti i buoi del Sole erano situati.
I tori bianchi, se mescolavano la loro quantità con i neri, formavano un gruppo avente lunghezza della stessa misura della larghezza, e tale da occupare tutte le pianure della Trinacria. Inoltre i fulvi, insieme con i maculati, formavano una figura triangolare, a prescindere dalla presenza di tori di altro colore.
Se tu troverai queste cose e se in modo comprensibile indicherai tutte le misure, va orgoglioso come colui che ha riportato la vittoria, e sarai giudicato del tutto provetto nella scienza”.
Il Problema dei buoi di Archimede, ritenuto per quasi due millenni uno dei più difficili problemi della matematica, fu “riesumato” nella ben nota biblioteca di Wolfenbuttel, nel 1773, daI famoso letterato, filosofo e bibliotecario G. Lessing (1729-1781), il quale pubblicò un epigramma in greco formato da 22 distici, contenuto in uno dei manoscritti che gli erano stati affidati e nel quale il problema archimedeo figura nelle vesti di un =0 e il cui termine noto non necessariamente deve risultare unitario) le cui soluzioni minime generali intere positive di Gallo, che nel seguito saranno indicate con (· , ²), risultando tutte inferiori alla soluzione classica particolare, a maggior ragione risultano inferiori (di un fattore dell’ordine di almeno 10 103258 ) rispetto alla soluzione classica generale del problema (che è dell’ordine di 10 103275), trovata nel 1880 dal matematico tedesco A.Amthor e della quale, stante le difficoltà del problema archimedeo, quasi non si trovano tracce nei testi più recenti su Archimede e le sue opere, tranne nel caso dell’opera monumentale History of the Theory of Numbers (Chelsea Publ., Co., New York, N.Y., 1971)- di L.E. Dickson e in qualche altro raro caso.
Infatti, per l’equazione diofantea (FP/4729494), tra le possibili soluzioni intere positive da lui trovate, oltre alla soluzione minima intera positiva particolare:
( · , ²) = ( 570 054 , 1 239 719 227), anche ( · , ²) = (1 137 227, 2 473 173 028), entrambe tali che ²/· = 2174,739984 = 4729494 con sei decimali esatti, Onofrio Gallo fornisce la soluzione generale minima intera positiva trovata da Gallo dell’ordine di 10exp17 .
Tali progressi in Analisi Indeterminata (o Analisi Diofantea) si fondano tutti su un fondamentale teorema, il Teorema FPG di Gallo (1994), relativo alle equazioni diofantee del tipo Fermat-Pell Generalizzate o k- equazioni diofantee di Gallo , che sono espresse da equazioni diofantee del tipo (FPG/N) ²k -N · k = c ( con c intero ed N intero positivo e non potenza k-ma di alcun intero positivo) di grado ke2, delle quali si cercano le soluzioni minime intere positive di Gallo (· , ²), tali che si abbia: ²/· = kN ; e, nel caso k=2, se (x,y) è una soluzione di (FP/N) y2-Nx2 =1 tale che y/x= N, allora, per il Teorema FPG, risulta ²/· = y/x= N, anche se, in generale, risulta (· , ²)` (x,y).
A tal proposito ecco quanto afferma O. Gallo :
“Fino a pochi anni fa, a partire dai matematici indiani, come Brahmagupta ( 598-665?, regola bhavana) e Bhaskara II (1114-1185), che perfezionò il precedente metodo di Jadayeva (Sec. XI), detto poi “metodo chakravala o metodo ciclico o kuttaka o di polverizzazione”, i matematici (grandi e piccoli) hanno faticato non poco per aver ragione delle equazioni (FP/N) y2-Nx2 =1 nel caso più semplice ( k=2), allo scopo di calcolare la radice quadrata approssimata con un certo numero r di cifre decimali esatte.
Il che si è verificato in particolare, in Italia, a partire dal matematico italiano P. A. Cataldi (1552-1626), bolognese, che nel suo Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri… (del 1613) introduce per primo in Europa le frazioni continue per il calcolo della radice quadrata di numeri naturali N ( non nulli e non quadrati perfetti) presentando un accorgimento che “accelera” la convergenza delle cosiddette “ridotte” di una frazione continua alla frazione generatrice di un valore approssimato di N con un certo numero di cifre decimali esatte
Fu Eulero (1707-1783)- erroneamente- ad attribuire il nome del matematico inglese John Pell (1611-1685) a siffatte equazioni diofantee di secondo grado, che in seguito si rivelarono utilissime anche per la risoluzione di problemi più difficili nella teoria dei numeri ( come ad esempio per la risoluzione delle forme quadratiche , ecc.). Lo stesso Eulero in un capitolo del suo trattato Introductio in Analysin Infinitorum ( Cap. XVIII De fractionibus continuis) (1748) e, successivamente, nel 1759 in una memoria, edita poi a Pietroburgo nel 1767, chiarisce l’effettivo ruolo delle frazioni continue nella risoluzione delle equazioni (F-P/N) di grado k=2, che egli, come già aveva fatto il Cataldi circa un secolo e mezzo prima (!), risolve proprio con l’algoritmo delle frazioni continue.
Tuttavia i matematici - per quasi quattro secoli e ad ogni latitudine- non hanno potuto fare a meno di ricorrere in modo sistematico ai metodi “indiani” oppure alle stesse frazioni continue per risolvere le equazioni diofantee (FP/N), sempre nel caso k=2, anche se entrambi tali metodi – detto in modo eufemistico!- sono poco “maneggevoli” per calcolare la radice quadrata “approssimata” di N A tal proposito ecco quanto afferma O. Gallo :
“Fino a pochi anni fa, a partire dai matematici indiani, come Brahmagupta ( 598-665?, regola bhavana) e Bhaskara II (1114-1185), che perfezionò il precedente metodo di Jadayeva (Sec. XI), detto poi “metodo chakravala o metodo ciclico o kuttaka o di polverizzazione” ”( ad esempio, mettiamo pure con un numero r>=8 cifre decimali: si ricordi che il calcolo, ad es., di pi-greco con 10 cifre decimali esatte consente di valutare la lunghezza della circonferenza terrestre con l’approssimazione di un solo millimetro!).
Per cui. se non si ricorre al Teorema FPG di Gallo, non sembra che esistano ancora oggi algoritmi numerici manuali che consentano, da un lato di risolvere le equazioni k-diofantee di Gallo (FPG/N) ²k -N ·k = c di grado k (>2) ed, equivalentemente di calcolare la radice k-ma di N (con N non potenza k-ma di n;con N ed n interi positivi) quasi istantaneamente – in linea teorica- con un numero qualsiasi r (finito)di cifre decimali esatte.
LE FORMULE DI BHASKARA II PER LE EQUAZIONI DI FERMAT-PELL
Tali formule forniscono la soluzione generale dell equazioni di fermat-Pell che ha per componenti:
xr+1 = xr yr-1 +yr xn-1
yr+1 = yryr-1 +Nxr xr-1 con r intero >=0.
Ad esempio, nel caso della (FP/8) y2-8x2=1, nota la soluzione (x1,y1)=(1,3), (diversa dalla soluzione banale (x0,y0)=(0,1), comune a tutte le equazioni (FP/N)), la soluzione generale è
R 0 1 2 3 4 5 6
X 1 6 35 204 1189 6930 40391…..
Y 3 17 99 577 3363 19601 114243…..
Supponiamo di voler calcolare la soluzione minima intera positiva di (FP/8)tale che nel minor numero di passi risulti y/x= 8= 2, 828 427 125 con nove cifre decimali esatte.
Le soluzioni della (FP/8) calcolate in precedenza (successive a quella “banale”) da Bhaskara II forniscono le seguenti approssimazioni di 8 (in neretto le cifre esatte):
y1/x1= 3/1 = 3 ( non accettabile)
Y2/x2 = 17/ 6= 2, 8(3)
Y3/x3 = 99/35= 2, 828571429
Y4/x4= 577/204 = 2, 828431373
y5/x5 = 3363/1189 = 2, 82842725
Y6/x6= 19601/6930 = 2, 828427128
Y7/x7= 114243/40391= 2, 828427125 ( in 7 “passi”)
Dunque il metodo ”hindu o indiano” di Bhaskara II consente di trovare il valore cercato di 8= 2, 828 427 125 dopo il calcolo di sette soluzioni della (FP/8).
LE FORMULE DI GALLO PER LE EQUAZIONI DI FERMAT-PELL
Riportiamo ora qui per la prima volta le FORMULE DI GALLO relative alla soluzione generale delle EQUAZIONI DI FERMAT-PELL DEL I TIPO
(FP1/N) y^2 –Nx^2 = 1 che ha per componenti:
y^2= (( 1+N)+Nt)/(1+N)
x^2= t/(1+N)
con t (parametro intero positivo di Gallo)= x^2 +y^2 -1 = (N+1)x^2 , ossia multiplo secondo N+1 di x^2.
Ad esempio (caso N=2) volendo risolvere la (FP1/N) y^2 –2x^2 = 1 mediante le formule di Gallo, per t0=0 si ha (y0,x0) =(1,0) (soluzione banale); per t1= 3*2^2 =12 si ha la soluzione fondamentale ( o minima intera positiva) (y1,x1) =(3,2); per t2=3 *12^2=432 si ha la soluzione
(y2,x2) =(17,12); per t3= 3*70^2= 14 700 si ha la soluzione (y3,x3) =(99,70); ecc…
Mentre le FORMULE DI GALLO relative alla soluzione generale delle EQUAZIONI DI FERMAT-PELL DEL II TIPO
(FP2/N) y^2 –Nx^2 = -1 che ha per componenti:
y^2= (( -1+N)+Nt)/(1+N)
x^2= (2+t)/(1+N)
con t (parametro intero positivo di Gallo)= x^2 +y^2 -1 = ((N+1)x^2) -2.
Mediante il Teorema FPG di Gallo , applicato alla (FP/8) per k=2, la prima soluzione di Gallo è anche la soluzione minima intera positiva: ( · , ²) = ( 939 524 096, 2 657 375 437) che approssima 8 con il valore ²/ · = 2,828427124 = y6/x6, mentre la soluzione successiva di Gallo è ( ·’ , ²’) = ( 7 516 192 768, 21 259 003 500) che approssima 8 con il valore cercato ²’/ ·’ = 2, 828427125 = y7/x7.
Dunque in soli due passi (Metodo di Gallo) , in luogo di sette passi (Metodo di Bhaskara II), si ottiene un’approssimazione con nove cifre decimale esatte di 8.
In generale mediante il Teorema FPG di Gallo, applicato alla (FP/N), caso k=2,è possibile calcolare immediatamente le soluzioni minime intere positive, ignote non solo ai vari Fermat, Lagrange, Eulero ed altri, ma anche ai matematici odierni, come, ad esempio, le soluzioni minime intere positive delle due equazioni proposte da Fermat a Frénicle per corrispondenza nel 1657, come riportò il matematico francese A. Weil nel libro Number Theory ( tr, it. Teoria dei Numeri , Ed. Einaudi, 1993, pp. 89-90), il quale da parte sua, come Dickson, non aggiunse una virgola su tale argomento a quanto già noto.
Pertanto, alla luce di quanto esposto, sembra destinato a tramontare.il “mito” creato intorno a matematici come Fermat, Lagrange, Eulero, e al metodo di Bhaskara II (114-1185), il Maestro,detto metodo Jaeyadeva-Bhaskara o metodo cavrakala o ciclico o metodo della ruota(cavra significa ruota) o metodo Kuttaka ( dal verbo kutt = schiacciare, tritare, macinare, polverizzare, che i Cinesi chiamavano “ Ta yen”).
Le equazioni proposte da Fermat erano relative , prosegue Weil:
“…ai casi N=61 e N=109, aggiungendo (in modo fuorviante, e forse con malizia) di avere scelto numeri abbastanza piccoli “pour ne vous donner pas trop de peine” ( “per non darvi troppa pena”); egli doveva sapere, naturalmente, che le più piccole soluzioni di questi due casi sono rispettivamente:
(1 766 319 049, 226 153 980) e (158 070 671 986 249, 15 140 424 455 100) e proprio per questa ragione scelse i valori 61 e 109”.
Weil tuttavia , visto che Fermat aveva “sfidato” tutti i matematici europei del suo tempo, non può non osservare che le “soluzioni minime di Fermat” relative ai casi N=61 ed N=109 (prima riportate) sono le stesse soluzioni ottenute ben sei secoli prima da Bhaskara II !
Sempre secondo quanto scrive Weil:
“ Nel 1768, occupandosi per la prima volta di teoria dei numeri, Lagrange aveva dimostrato, per quanto in maniera non troppo elegante, tutti i teoremi fondamentali relativi all’equazione di Pell (Lag. I. 671-731); non molto dopo egli fornì quella che può essere considerata la sistemazione definitiva di questo argomento, basata sull’algoritmo di frazione continua ( Lag. II. 494-96; è sostanzialmente quella che abbiamo descritto nel capitolo II, paragrafo 13): essa è contenuta in un lungo saggio ( Lag.II. 377-535/ 1768) pubblicato a Berlino nel 1769, che giunse nelle mani di Eulero nello stesso 1769 o all’inizio del 1770.” (Op.cit., p.219 ).
Ma, se si pensa che lo stesso Lagrange, come tutti gli altri matematici prima e dopo di lui, faticò
non poco, nel caso k=2, per calcolare, a distanza di un secolo dalla di Fermat, la soluzione minima di (F-P/61) y2 -61x2 =1, davvero Lagrange, nel 1768, come sostiene Weil, avrebbe “sistemato” in modo definitivo l’”argomento”?
Sembra che la risposta debba essere negativa per quanto riferisce G. Joseph nel suo libro The Crest of the Peacock Non-European Roots of Mathematics ( tr. it. C’era una volta un numero, ed. Il Saggiatore, MI, 2000, p. 276):
“ Un paragone tra il metodo di Lagrange e quello di Bhaskaracharya è decisamente illuminante. Il metodo di Lagrange richiede il calcolo di ventuno serie convergenti successive della frazione continua per la radice quadrata di 61, mentre l’approccio Jayadeva-Bhaskaracharya fornisce la soluzione in pochi semplici passi.”
La soluzione minima (intera positiva) di Gallo della (F-P/61) è ( · , ²) =(50 742 622 , 396 312 547 ) con un fattore di riduzione, rispetto alla soluzione (x,y)data dai matematici indiani e da Fermat, pari a 4,456 883 998, ²/ · = y/x= 7,810249676 = 61 con nove cifre decimali esatte; mentre l’analoga soluzione minima (intera positiva ) di Gallo relativa alla (F-P/109) è ( · , ²) = (138 579 984, 1 446 817 509) con un fattore di riduzione rispetto alla soluzione (x,y) precedentemente fornita dai matematici indiani e da Fermat, pari a 109 254, 0496, con ²/ · = y/x=10,44030651 = 109 con otto cifre decimali esatte..
Entrambe tali soluzioni intere positive minime di Gallo risultano dunque molto minori di quelle ritenute tali per vari secoli e calcolate dai matematici indiani e da Fermat. “
Riportiamo a titolo esemplificativo le seguenti soluzioni minime intere positive di Gallo
( · , ²) tali che ²/ ·= kN al variare del grado k.= 2, 3,4,5,6,…della relativa (FPG/N):
Soluzione minima di Gallo
k N Equazione (FPG/N) · ² ²/ · = kN
2 257 y2 -257x2 =1 17 040 642 273 182 273 16, 03121954=y/x
2 367 y2 -367x2 =1 29 108 460 557 637 681 19, 15724406=y/x
2 401 y2 - 401x2 =1 15 597 697 312 343 639 20, 02498439=y/x
2 601 y2 - 601x2 =1 53 457 748 1 310 532 801 24, 51530134=y/x
3 61 y3 -61x3 =1 490 278 960 1 929 981 745 3, 936497183=y/x
4 7 y4 -7x4 =1 1 452 729 852 4 200 846 805 1, 626576562 =y/x
4 109 y4 -109x4 =1 1.510521826exp10 4.880717032exp10 3.231146315 =y/x
5 61 y5 -61x5 =1 916 132 832 20 844 608 069 2, 275443032=y/x
5 83 y5 -83x5 =1 3 471 159 122 8 400 209 959 2, 420001407=y/x
6 7 y6 -7x6 =1 2 951 578 712 3 764 363 347 1, 275373107=y/x
……………………………………………………………………………………………
Tali risultati si trovano nelle memorie di O. Gallo, depositate ad Oslo nel 2004., e sono tuttora sconosciuti alla comunità matematica mondiale dei nostri giorni, in quanto vengono resi noti qui per la prima volta.
Infatti le quattro equazioni di Fermat-Pell (k=2, N=257 , 367, 401, 601) e le sei equazioni k-diofantee di Gallo (k=3,4,5,6 ed N=61, 7, 61, 7) non erano state mai risolte, prima del 1994, da nessun matematico per cui esse sono a bibliografia zero: non esistono precedenti nella Storia della Matematica.
Da quanto esposto si comprende tutta l’importanza del Teorema FPG di Gallo che consente – senza l’utilizzo delle frazioni continue e senza il ricorso alle formule dei matematici hindu e per la prima volta in assoluto nella Storia della Matematica - di risolvere le equazioni di Fermat-Pell e le equazioni k-diofantee di Gallo e, simultaneamente, consente altresì di perveniren rapidamente sia alle approssimazioni diofantee dei radicali quadratici ( equazioni di Fermat -Pell , caso n=k=2) sia alle approssimazioni dei radicali k-mi per le equazioni k-diofantee di Gallo (caso n=k>2).
L’EMPIREO DELLA MATEMATICA
Tale “empireo” si trova ben al di là dell’alloro matematico concesso potenzialmente dallo stesso Archimede a colui che, tra i suoi contemporanei, avesse ottenuto la soluzione del suo problema Per accedervi occorre risolvere (nella sua forma classica originale). la versione “ampliata” del Problema dei Buoi di Archimede con gli altri due “Addendum” (8+8=16 distici finali) concepiti dallo stesso Onofrio Gallo che ne costituiscono il terzo e il quarto grado di difficoltà.
Il “terzo grado” del Problema dei buoi di Archimede.è dettato dal “primo” Addendum - epigramma di Gallo, composto dagli otto distici seguenti:
“ Or che esperto sei dei buoi archimedei
Grande a te sarà il favore degli dei
Se la simmetria per caso troverai da solo
Senza continue frazioni e senza dolo
( né ricorrendo agli esperti ,
né tantomeno agli profani)
Tra i due coni retti finiti per superfici e per volumi
Dei quali -come aiuto- ti assegno gli apotemi
E nulla più a ed s (i minimi valori di Gallo)
Solo allor la tua gloria salirà sul divino piedistallo”:
Il “quarto grado” del Problema dei buoi di Archimede – “ per accedere all’Empireo della Matematica” ( testuali parole di O. Gallo) .è dettato dal “secondo” Addendum - epigramma di Gallo, composto dagli ultimi otto distici seguenti:
“ Ed or che il tuo ingegno al terzo grado dell’Olimpo degli dei/
E’ asceso, per aver tu calcolato i pitagorici cateti gallo-archimedei/
Dei triangoli numerici dei generator/
E loro simmetrie; a lato del trono d’oro di Zeus grazie ai tori/
Per sempre siederai, se tu, come quarto e ultimo dono,/
Paziente, saprai dirmi esattamente quanti sono/
Siffatti “coni di Gallo” e i relativi cateti gallo-archimedei/
Entrambi pitagorici, triangolari e senza nei.”
Pertanto l’intero Problema dei buoi, compresi i due “addendum” di Gallo (composti da 16 distici) è rappresentato da 38 distici.
Il “quarto grado” di Gallo richiede:
a) il numero dei “coni di Gallo” ( s’intende a coppie)
b) il numero dei relativi cateti gallo-archimedei che siano entrambi “numeri triangolari” e “senza nei” (in interi positivi).
In altre parole si richiede il calcolo del numero delle coppie dei triangoli rettangoli, rispettivamente, di ipotenusa a ed s, tali che i loro rispettivi cateti siano interi e numeri triangolari.
Dunque tutto rientra in un quadro di pefetta fusione tra matematica pura, poesia, originalità e genialità.
Per cui da parte mia non posso che emettere un laconico: “ Scusate se è poco!”.
News a cura di U. Esposito per gentile concessione dell’Autore.
Conosci per caso una regola, senza fare riferimento alle frazioni continue, che permetta di stabilire per quali valori di D possiede soluzioni intere l'equazione X^2-Dy^2=-1?
Grazie
Mimmo
