Un po' di storia antica sul concetto di infinito
Agli inizi del Novecento si fece strada tra la comunità di Matematici, Logici e Filosofi la possibilità di creare una Teoria autonoma e coerente riguardante l'Infinito Matematico. Personalità come quelle di G. Cantor, B. Russell e R. Dedekind fanno da protagonisti in una storia ricca di curiosità ed interessante agli occhi dei moderni studiosi e degli appassionati di matematica. La conoscenza e lo studio di questi argomenti, pur non avendo un grande seguito attualmente, risulta di facile comprensione e permette di assimilare alcuni concetti matematici ritenuti spesso scontati e insiti tra gli addetti ai lavori. Resta, infine, aperta una via di analisi della Teoria tutta filosofica, di cui si fa qualche volta cenno negli scritti dei protagonisti.Alla base di questi concetti non vi sono dunque solo nozioni matematiche, ma è importante anche l'aspetto filosofico del concetto di infinito. Si pensi al filosofo Anassimandro, nato nel 610 a.C il quale identifica l'archè (l'origine delle cose) nell'infinito. Qui di seguito alcune parole importanti che lo stesso disse sul concetto di infinito:
"principio ed elemento degli esseri è l'infinito, avendo egli per primo introdotto questo nome di principio (archè). E dice che il principio non è né l'acqua né un altro dei cosiddetti elementi, ma un'altra natura infinita, dalla quale provengono tutti i cieli e i mondi che in essi esistono [...]"
Per approfondire il concetto di infinito matematico e un po' di storia, vedi qui
Il concetto primitivo di insieme
Una delle più grandi questioni umane, ormai quasi dimenticata, riguardo l'aspetto più filosofico ed astratto della Matematica è stata indiscutibilmente la ricerca di una definizione concreta e formale del concetto di insieme. Non sembra, a primo acchito, una trattazione particolarmente complessa, né tanto meno che necessiti grandi basi scientifiche o filosofiche per poterne parlare. In realtà, ogni qual volta ci si imbatte in una sorta di definizione (seppur banale) dell'idea di insieme si cade in una serie di sinonimi e sottigliezze che nel formalismo matematico sono ritenute sconvenienti.
Succede, infatti, che alcuni enti non possano essere definiti in maniera rigorosa e puntuale, a causa di inconsistenze soprattutto di tipo filosofico. È proprio questo il motivo principale per cui la parola "insieme" difficilmente potrà essere definita: essa non si poggia su concetti pregressi, in quanto essa stessa è un concetto di base. L'idea di insieme viene, pertanto, definita primitiva. Alcuni docenti però ritengono necessario introdurre la definizione di insieme e, a tal proposito, si è scelta come più corretta quella data dal filosofo e matematico Bertand Russell (1872-1970).
Un insieme è una collezione di oggetti
Un insieme è una collezione di oggetti . Nonostante anche qui sia ben chiaro quale fosse il problema a cui si faceva riferimento in precedenza, si è considerata questa brevissima descrizione molto intuitiva e pratica.Ad ogni modo, nel concreto, la questione è stata più che risolta in quanto il concetto primitivo di insieme sembra insito nell'uomo o comunque chiaramente identificabile tramite banali esempi.
Dopo aver definito, allora, questi grandi contenitori di oggetti che sono gli insiemi ci si pone un ulteriore quesito: come li riempiamo? Sembra anche questa una domanda molto banale, ma formalmente ammette risposte tutt'altro che scontate. Una delle più corrette e, a mio parere, interessanti accenna all'utilizzo di trattazioni prettamente filosofiche come le eidos platoniche. Infatti, si considerano tutti i possibili elementi di un insieme come insiti (quasi nell'Iperuranio) e predefiniti dotati di specifici assiomi, per tale ragione vengono indicati con il termine di elementi.
Osserva l'immagine qui di seguito.
Il concetto di insieme finito e insieme infinito
Quando si parla di concetto di infinito matematico è dunque necessario andare proprio a definire il concetto di insieme infinito e di differenziarlo dall’insieme finito.Questo concetto di infinito può proprio essere spiegato e riassunto con il curioso modo che sceglie Ludwig Wittgenstein con cui egli stesso andò a definire il concetto:
“Ti senti girar la testa se puoi mostrare che ci sono numeri più grandi dell’infinito; questa potrebbe anzi essere la ragione principale per cui sono stati inventati”
Questa definizione ci fa riflettere sull’immensità del concetto di infinito.
Per ulteriori approfondimenti sul concetto di insieme finito e finito vedi qui
Le affermazioni che hanno portato alla definizione del concetto di infinito
Nel 1919 Bertand Russell risolve la problematica di andare a definire il concetto di infinito, andando ad affermare quanto segue:“Non si può dir che esista in realtà in qualsiasi insieme infinito nel mondo. L’ipotesi che esista è quello che noi chiamiamo l’assioma dell’infinito”.
Un’altra definizione che lascia riflettere attentamente sul concetto.
Successivamente l’analista illustre David Hilbert fece un importante affermazione durante il congresso della società matematica della Vestfalia nel giugno del 1925, esponendo quanto segue:
“Il chiarimento definitivo della natura dell’infinito, invece di attenere semplicemente all’ambito degli interessi scientifici specializzati, è necessario per la dignità stessa dell’intelletto umano. L’infinito è qualcosa di irreperibile, quali che siano le esperienze, le osservazioni e il sapere cui si fa ricorso. […] In breve: può il pensiero essere tanto lontano dalla realtà?”
Da qui in poi, eliminando i paradossi matematici del concetto di infinito furano successivamente definiti tutti i concetti che lo riguardano. Dal concetto di limite, di infinito, infinitesimo e tanto altro.
Appunti di teoria degli infiniti
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