Trasformazioni geometriche nel piano

In questo volumetto sono ripresi sinteticamente alcuni argomenti di Geometria Proiettiva: omografie, omologie, isometrie. Lo studio delle omologie è approfondito con diversi esercizi svolti. Il lavoro termina con alcuni argomenti sulle trasformazioni geometriche nel piano; esse ci consentono di vedere il legame fra le varie forme di geometria e le proprietà che rimangono invarianti rispetto ad un determinato gruppo di trasformazioni. Si chiarisce così il legame fra Geometria e Teoria dei gruppi, messo in luce dal matematico F.

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Nazario Magnarelli, Trasformazioni geometriche nel piano, 2010.

INDICE PREFAZIONE 2 GEOMETRIA PROIETTIVA 6 N. 1 – Coordinate proiettive nelle forme di prima specie 6 N. 2 – Proiettività tra due forme di prima specie 7 N. 3 – Equazione di una proiettività tra due punteggiate 8 N. 4 – Punti uniti di una proiettività fra punteggiate sovrapposte 9 N. 5 – Coordinate proiettive sulla retta 9 N. 6 – L'ascissa proiettiva di un punto di una retta come birapporto 10 N. 7 – Valori delle ascisse proiettive dei vertici e del punto unità del riferimento proiettivo 12 N. 8 – Involuzioni 13 N. 9 – Equazione di una involuzione 15 N. 10 – L'invariante assoluto di una proiettività 16 N. 11 – Il centro e la potenza dell'involuzione sopra una punteggiata 17 N. 12 – Problemi di applicazione su proiettività e involuzioni 19 N. 13 – Punti limite di due punteggiate proiettive: 1° esempio. 20 N. 14 – Punti limite di due punteggiate proiettive: 2° esempio 22 N. 15 – Problemi sulle involuzioni 23 N. 16 – Involuzione ortogonale e involuzione assoluta 24 N. 17 – Formula di Laguerre 25 N. 18 – Coordinate proiettive omogenee sul piano 27 N. 19 – Valore del birapporto A3(A1A2UM) di un riferimento proiettivo e dei birapporti analoghi 34 N. 20 – Equazione di una retta in un riferimento proiettivo 35 N. 21 – Problema notevole di Geometria Proiettiva 37 OMOGRAFIE 42 N. 22 – Definizione di omografia tra due piani 42 N. 23 – Equazioni di una omografia tra due piani sovrapposti 42 N. 24 – Omologia piana: genesi spaziale 44 N. 25 – Omologie speciali 46 ESERCIZI SULLE OMOLOGIE 48 N. 26 – Equazioni di una omologia di elementi assegnati 48 N. 27 – Omografie aventi le proprietà di una omologia 51 N. 28 – Posizione di una circonferenza rispetto alla 2^ retta limite di una omologia 53 N. 29 – Applicazioni algebriche delle omologie nelle trasformazioni di una circonferenza. 54 N. 30 – Omologia di elementi assegnati 56 N. 32 – Omologia con centro proprio e come asse la retta impropria 61 N. 33 – L'omotetia come caso particolare dell'omologia ( versione) 65 N. 34 – Le omotetie come caso particolare delle omologie ( versione) 66 N. 35 – Esercizio su una omologia speciale 70 N. 36 – Omologia avente asse, centro e punti corrispondenti assegnati 72 N. 37 – Omologia di centro e asse dati (Beltrametti; Geometria, pg. 141) 75 N. 38 – Rette limite di una omologia 78 N. 39 – Costruzione delle due rette limite di una omologia di asse e centro propri 78 N. 40 – Omologia con retta limite 79 N. 41 – Esempio di omologia affine 82 N. 42 – Le affinità nel piano 87 N. 44 – Composizione di affinità 89 N. 45 - Problema sulle affinità 94 N. 46 – Equazione di una affinità con uno degli assi coordinati unito 95 N. 48 – Similitudini nel piano 97 N. 49 – Problema sulle similitudini 100 ISOMETRIE 102 N. 50 – Equazioni di una isometria 102 N. 51 – Le geometrie dal punto di vista delle trasformazioni 103 N. 52 – Equazioni di una omologia generale 104 N. 53 – Omotetie come caso particolare delle omologie ( versione) 105 N. 54 – Affinità tra piani (E. Martinelli; Geom. Descrittiva, pag. 150) 106 N. 55 – Su un problema di Apollonio 108 N. 56 – Coniche omologiche . 110 N. 57 – Teorema di Dèsargues sui triangoli omologici 114

BIBLIOGRAFIA 1 ) L. Campedelli : Lezioni di Geometria Vol. 1, CEDAM- Padova; 2 ) L. Campedelli : Esercizi di Geometria Proiettiva – CEDAM – 1970; 3 ) F. Conforto : Geometria Descrittiva, Edizioni univ. DOCET – Roma; 4) E. Martinelli : Geometria Vol. 2, 1954; Librerie M. Bozzi – Genova; 5) F. Enriques : Lezioni di Geometria Proiettiva, ristampa 2000 – Zanichelli; 6) M. C. Beltrametti : Geometria A. e Proiettiva, 2002, Boringhieri – TO ; 7) Dispense O.R.U.R. : Esercizi di Geometria Descrittiva; Ed. La Goliardica, Roma, 1957; 8) G. Vaccaro : Teoria delle curve e superficie; Ed. Veschi – Roma; 9 ) N. Magnarelli: Geometria Proiettiva ; http://digilander.libero.it/santoppe ; 10) G. Montanari : Trasformazioni Geometriche nel Piano ; Centro Programmazione Editoriale – Modena. Edizione anno 1997.