Diffusione da superfici frattali: il metodo delle condizioni al contorno estese

Log 4

=

D

In tutti i casi e ciò evidenzia che la dimensione della curva di von

Log 3

Koch è 1.2618. Quindi tale dimensione ci dice che quest’oggetto non è né una

compresa fra le due

linea né una superficie, ma è un qualcosa con una dimensione

e ci dà un'idea di quanto il frattale riempia il piano. Frattali di dimensione

prossima ad 1 saranno simili ad una curva, frattali di dimensione prossima a 2,

tenderanno ad occupare tutto il piano. Quindi la dimensione frattale misura

quanto è frastagliato e irregolare un oggetto.

1.3 Modelli di superfici frattali

I modelli frattali piu’ usati per superfici naturali sono due:

Weierstrass-Mandelbrot

-il modello WM ( );

Fractional Brownian motion

-il modello fBm ( ).

Il vantaggio principale derivante dall’uso del primo modello è quello di ottenere

un’espressione analitica della superficie, mentre l’uso del secondo modello

permette di ottenere un’espressione analitica della pdf degli incrementi della

superficie stessa. Tali modelli si usano nei problemi di scattering. In tal caso il

primo modello permette di ottenere un’espressione analitica del campo diffuso,

mentre il secondo di ricavare un’espressione in forma chiusa per la densità di

potenza diffusa, ed essendo tale espressione facile da manipolare, possiamo anche

valutare la dipendenza di quest’ultima dai parametri frattali. Lo svantaggio

apportato dal modello fBm è legato al fatto che possono essere valutate solo le

statistiche del secondo ordine.

1.4 Modello fBm

Un processo aleatorio z ( x , y ) descrive una superficie fBm se, per ogni x , x ' , y , y '

soddisfa la seguente relazione: η η

 

2

{ ( ) ( ) } 1

′ ′ η η

∫

− < = −

 

Pr z x , y z x , y exp d (1.4.1)

 

τ

π τ 2 2 H

H  

2 s

2 s − ∞

dove 12

( ) ( )

′ ′

τ = − + −

2 2

x x y y (1.4.2)

s

è il coefficiene di Hurst ed è un parametro reale le cui dimensioni sono

H

[ ]

(1-H)

m . Quest’ultimo parametro è legato ad un altro, la Topotesia:

( )

−

= 1 H (1.4.3)

s T

dove è definita come la scala di osservazione a cui si osserva che la pendenza

T

media della superficie è unitaria. Si può dimostrare che un processo che soddisfa

l’equazione (1.4.1) esiste e che la dimensione frattale è:

.

D=3-

H

Notiamo ora che il processo fBm non è stazionario, ma i suoi incrementi a fissata

τ costituiscono un processo stazionario, isotropo e gaussiano a media nulla con

τ

−

2 2 H 2 H

varianza pari a . Per cui:

T ( )

( )

τ τ

−

∆ = 2 2 H 2 H

0

, (1.4.4)

z N T

Si può, inoltre, dimostrare che la potenza spettrale di un processo fBm

bidimensionale è: ( ) α

κ κ −

=

S S (1.4.5)

0

dove: κ κ κ

= +

2 2 (1.4.6)

x y 13

κ κ

è la frequenza spaziale ( e sono rispettivamente le trasformate di Fourier

y

x

α S

lungo x e y), è la pendenza dello spettro, e è un parametro spettrale misurato

0

[ ]

(2-2H)

m . Il legame tra parametri spaziali e spettrali è dato da:

in α = + = −

2 2 H 8 2 D (1.4.7)

( )

Γ +

1 H

π

= 2 2 H

S s 2 2 H (1.4.8)

( )

Γ −

0 1 H

Γ(⋅)

dove è la funzione Gamma di Eulero. Notiamo anche che dalla

α

disuguaglianza 0<H<1 discende la disuguaglianza 2< <4. E’ opportuno, inoltre,

evidenziare che una superficie che soddisfa l’equazione (1.4.1) è continua ma non

differenziabile. Perciò tale modello, che noi chiameremo fBm matematico, non

può essere usato nei modelli di diffusione elettromagnetica in cui si richiede la

continuità delle componenti tangenziali dei campi. Comunque, come detto

precedentemente, le superfici naturali esibiscono un comportamento frattale in un

vasto ma limitato range di scale; per cui, se indichiamo con L la dimensione

λ

lineare della superficie illuminata e con la lunghezza d’onda del campo

elettromagnetico, le scale che contribuiranno alla diffusione variano

λ L

nell’intervallo [ , ] . Per tale motivo, possiamo considerare il modello di

10

superficie fBm fisico, cioè un modello che soddisfa l’equazione (1.4.1) per

λ

τ τ τ τ τ

= =

< < L

con e o equivalentemente in termini di

min max

min max 10 1 1

κ κ

κ κ κ ≅ ≅

< < e . Ciò spiega

frequenze spaziali per con τ τ

min max

min max max min

anche perché tale modello viene chiamato fBm a banda limitata. Si può

dimostrare che le superfici fBm a banda limitata sono stazionarie e regolari.

Considerando, invece, un profilo monodimensionale le equazioni (1.4.1-2,5-8)

devono essere sostituite con : 14

η η

 

2

{ ( ) ( ) } 1

′ η η

∫

− < = −

 

z x z x d

Pr exp (1.4.9)

 

τ

π τ 2 2 H

H  

s

2

s

2 − ∞

dove ′

τ = −

x x (1.4.10)

= − (1.4.11)

D H

2

α = + = −

H D

1 2 5 2 (1.4.12)

π

H 1

= 2

S s (1.4.13)

( ) ( )

π Γ −

0 H H

cos 1 2

κ κ

= (1.4.14)

x

1.5 Modello WM( Weierstrass-Mandelbrot)

La funzione di Weierstrass-Mandelbrot è una sovrapposizione di toni sinusoidali e

fornisce una descrizione analitica del profilo superficiale, sia monodimensionale

che bidimensionale. La WM monodimensionale matematica può essere descritta

tramite la seguente formula: +∞

∑ ν κ ν φ

−

= +

Hn n

z ( x ) a C sin( x )

n 0 n

= −∞

n

mentre per ottenere una WM fisica, basta troncare la sommatoria su M indici,

ottenendo: −

M 1

∑ ν κ ν φ

−

= +

Hn n

z ( x ) a C sin( x ) (

1

. 5

. 1

)

n 0 n

=

n 0

in cui:

a

- è un fattore di scala dell’altezza del profilo;

- C tiene conto del comportamento in’ ampiezza di ogni tono e può essere

n

deterministico oppure una variabile aleatoria di solito assunta gaussiana; 15

φ

- porta in conto il comportamento in fase di ogni tono, e può essere

n

deterministico oppure una variabile aleatoria di solito assunta uniforme in

π

un’intervallo di ampiezza 2 ;

κ è il numero d’onda della componente fondamentale;

- 0

ν > 1

- ,irrazionale, tiene conto di come sono spaziate le componenti spettrali della

superficie;

- è il numero di toni usati per descrivere la superficie;

M

- è il coefficiente di Hurst.

H

Dalla (1.5.1) si evince che lo spettro WM è formato da componenti spettrali

M

ν n

discrete spaziate secondo una legge mentre le ampiezze sono spaziate secondo

ν − Hn

una legge . Si può inoltre dimostrare che la funzione descritta dalla

= − . Si noti

appartiene alla classe dei frattali con dimensione frattale pari a D 2 H

che la funzione (1.5.1) è anche una funzione quasi-periodica, proprietà questa

fondamentale per poter applicare la teoria di Floquet generalizzata per studiare la

diffusione da interfacce quasi periodiche. La più bassa e la più alta delle

componenti spettrali della WM, sono relazionate rispettivamente alla lunghezza

λ

del profilo illuminato ed alla lunghezza d’onda . Infatti considerando due

L ] ]

( (

χ χ

∈ ∈

0

, 1 0

, 1

fattori di sicurezza e ,possiamo scrivere tali relazioni:

1 2 π χ

⋅

2

κ = 1 (1.5.2)

0 L π

2

κ ν − =

1

M (1.5.3)

λ χ

⋅

0 2

Facendo il rapporto tra la (1.5.3) e la (1.5.2) e applicando il logaritmo naturale ad

ambo i membri, si ricava tale espressione per il numero di toni:

λ χ

⋅

 

ln( L ( ))

= + (1.5.4)

M INT 1

 

ν

 

ln( )

dove INT (⋅

) è la funzione che restituisce la parte intera del proprio argomento,

χ χ χ

= ⋅

mentre .

1 2

Analogamente la WM matematica bidimensionale può essere descritta

analiticamente in tal modo: 16

[ ]

∞

( ) ( )

∑ ν κ ν ψ ψ φ

−

= + +

Hn n (1.5.5)

z x y a C x y

, sin cos sin

n 0 n n n

= −∞

n

I parametri in gioco assumono lo stesso significato che assumono nel caso

ψ

monodimensionale. Inoltre anche , che tiene conto del comportamento in

n

direzione di ogni tono, può essere o deterministico oppure una variabile aleatoria

π

uniforme in un intervallo di ampiezza 2 . Anche in tal caso per avere una WM

fisica basta troncare la (1.5.5) su M indici, ottenendo:

[ ]

−

M 1

( ) ( )

∑ ν κ ν ψ ψ φ

−

= + +

Hn n (1.5.6)

z x y a C x y

, sin cos sin

n 0 n n n

=

n 0

La (1.5.6) descrive una superficie naturale bidimensionale con dimensione frattale

pari a D=3-H.

In tal caso la componente spettrale piu’ bassa è legata al diametro dell’impronta

(footprint) dell’antenna sulla superficie, mentre quella piu’ alta è relazionata alla

+

2 2

X Y X Y

lunghezza d’onda. Per cui se ( , ) è il footprint dell’antenna e il suo

diametro, si avranno le seguenti relazioni: π

2

κ κ

= = (1.5.7)

min 0 +

2 2

X Y

π

2

κ κ ν −

= =

( 1

)

M (1.5.8)

χ λ

⋅

max 0

χ =

con 0 . 1 di solito.

Le (1.5.7) e (1.5.8) determinano congiuntamente il numero di toni della WM

fisica, pari a:  

χ λ

+ ⋅

2 2

ln( X Y ( ) )

= +

 

M INT 1 (1.5.9)

ν

 

ln

 

INT

dove (⋅

) è la funzione che restituisce la parte intera del proprio argomento. 17

1.6 Legame tra fBm e WM

La WM può essere vista come una rappresentazione di un fBm con la stessa

dimensione frattale, campionata alle frequenze spaziali discrete:

κ κ ν

= n (1.6.1)

0

n

I parametri della WM sono legati a quelli dell’fBm dalle relazioni:

S −

κ ν ν −

= −

2 H

2 H H

0

a ( )

π 0

H

2 ⇓ (1.6.2)

1

π κ

= 2 H

2

2

S Ha ν ν −

−

0 0 H H

( ) 18

CAPITOLO 2

Un nuovo modello elettromagnetico: EBCM applicato a

superfici frattali 1-D

2.1 Introduzione

In questo capitolo affronteremo il problema della diffusione da superfici frattali

descritte dalla Weierstrass-Mandelbrot monodimensionale all’interno di un nuovo

modello elettromagnetico, l’EBCM acronimo per metodo delle condizioni al

contorno estese. Tale metodo è stato usato per valutare il campo diffuso da una

superficie periodica o quasi-periodica e il punto chiave della procedura è la

proprietà della WM di essere una funzione quasi-periodica, la qual cosa favorisce

la generalizzazione della teoria di Floquet che permette di esprimere campo

diffuso e campo trasmesso come sovrapposizione di modi. L’efficienza del

metodo viene testata sia attraverso considerazioni sul bilancio energetico che sui

diagrammi di irradiazione diffusi.

La rilevanza del metodo è legata al fatto che in linea di principio non dobbiamo

imporre alcuna restrizione sulla rugosità della superficie, per cui esso è applicabile

a qualsiasi tipo di profilo. Tuttavia il campo diffuso viene scritto sotto forma di

una serie di infiniti termini di coefficienti di ampiezza, per cui in linea di principio

dovremmo risolvere un sistema lineare di infinite equazioni (matriciali). Per avere

delle soluzioni numeriche è perciò necessario troncare la serie e risolvere di

conseguenza un problema di rango finito. In tal caso va discusso

approfonditamente il criterio di troncamento in modo da evitare di avere

degradazioni significative nella valutazione del campo diffuso e di ottenere

risultati inaspettati o del tutto erronei. A tale scopo le nostre argomentazioni

saranno focalizzate sul come intervengono nel campo diffuso i vari modi, facendo

uno studio sui parametri del profilo superficiale considerato. 19

2.2 Modello del profilo superficiale

Il profilo superficiale separa due semispazi dielettrici ognuno con le proprie

µ µ ε ε

, ,

permeabilità magnetiche e permittività dielettriche assolute . Per

1 2 1 2

come è stato concepito il profilo geometrico-superficiale, useremo una funzione

WM a banda limitata che è appropriata per descrivere superfici naturali. Tale

funzione è già stata introdotta nel capitolo 1 e si tratta della (1.5.1).

2.3 EBCM (Extended Boundary conditions method)

In tale paragrafo useremo l’EBCM per valutare il campo elettromagnetico diffuso

da un profilo dielettrico monodimensionale descritto in accordo con la (1.5.1),

quando su di esso incide un’onda piana.

2.3.1 Equazioni integrali

Il metodo EBCM si basa in sostanza sul teorema di equivalenza. A tale scopo

vengono fissati due insiemi di sorgenti equivalenti relazionati ai campi tangenziali

sul profilo sotto osservazione. Il primo insieme irradia il campo elettromagnetico

diffuso al di sopra del profilo superficiale mentre cancella il campo incidente al di

sotto del profilo stesso. Il secondo irradia il campo trasmesso al di sotto del

profilo considerato, mentre al di sopra irradia un campo nullo. Queste

considerazioni possono essere tradotte in tali formule analitiche:

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

ψ ψ ψ

∫

+ ⋅ ∇ − ⋅ ∇ =

ˆ ˆ

r d S r n g r, r g r, r n r

 

i 1 1 1 1

 

S ( )

ψ >

 r z z ' ( x ' ) (2.3.1.1)

= 1

 <

 0 z z ' ( x ' ) (2.3.1.2)

 

( ) ( ) ( ) ( )

′ ′ ∇′ ′ ′ ∇′ ′

ψ ψ

∫ ⋅ − ⋅ =

ˆ ˆ

d

S r n g r, r g r, r n r