Gruppo delle trecce, sue rappresentazioni e invarianti dei nodi

1.3 Mapping class group 13

1.3 Mapping class group

Una ulteriore definizione del gruppo delle trecce, l’ultima che viene trat-

tata, può essere introdotta a partire dal mapping class group di un disco

puntato D . Questa definizione risulta molto utile, soprattutto nello studio

n

della rappresentazine di Lawrence-Krammer, che sarà trattata nel capitolo

3. 2

Sia Σ una superficie connessa, compatta e orientabile , dotata di un contorno

∂Σ e sia P un insieme finito di punti (punture), scelti all’interno della super-

H(Σ, →

ficie. Si definisce P ) come il gruppo degli omeomorfismi h : Σ Σ che

preservano l’orientazione, in modo che ciascun h sia l’identità sul contorno

I(Σ, H(Σ,

di Σ e h(P ) = P . Sia P ) il sottogruppo di P ), costituito dagli

∩

omeomorfismi isotopi all’identità relativamente a ∂Σ P .

M(Σ, H(Σ,

Definizione 1.7. Il mapping class group P ) è il gruppo P )/I(Σ, P ).

{p }

Scelti un disco D e P = , p , ...p un insieme di punti al suo interno,

1 2 n M(D,

il gruppo delle trecce B è il mapping class group P ).

n

Si mostra ora, senza dettagli, che la costruzione geometrica di Artin - espos-

ta nella sezione 1.2 - e quella con il mapping class danno luogo al medesimo

gruppo. H(D, M(D,

∈

Se h P ) è un rappresentante di un elemento in P ), esiste

→

un’isotopia h : D D, per cui h è la mappa identica e h = h. La treccia

t 0 1 ∀t ∈

geometrica che corrisponde ad h è l’insieme dei punti (h (p), t), I e

t

∈

p P . ×

Viceversa, sia σ una treccia geometrica che sta in (D\∂D) I; σ descrive

→

un’isotopia h : D D, relativa a ∂D, dalla mappa identità h alla map-

t 0

pa h , che soddisfa l’uguaglianza h (P ) = P . La mappa h rappresenta

1 1 1

M(D,

l’elemento di P ), che corrisponde alla treccia geometrica σ.

2 k

Una superficie Σ regolare di classe C si dice orientabile se esiste un campo di versori

k

di classe C , normali su Σ.

1.4 Generatori e relazioni fondamentali 14

Figura 1.2: Generatori di Artin di B

n

1.4 Generatori e relazioni fondamentali

Artin dimostrò che B è generato dalle trecce elementari σ , σ , ...σ ,

n 1 2 n−1

dove gli elementi σ scambiano i punti p e p , mediante una rotazione di π

i i i+1 −1

in senso orario. A ciascun σ è associato un elemento inverso (σ ) , tale che

i i

−1 −1

(σ ) σ = σ (σ ) = e (la treccia banale su due stringhe).

i i i i

Teorema 1.4.1 (Artin). Il gruppo delle trecce B è generato dagli elementi

n

e, σ , σ , ...σ e dalle relazioni

1 2 n−1 |i − ≥

σ σ = σ σ , j| 2 (1.1)

i j j i ≤ ≤ −

σ σ σ = σ σ σ , 1 i n 2 (1.2)

i i+1 i i+1 i i+1

dette relazioni delle trecce.

I generatori di Artin σ - mostrati in Figura 1.2 - e le relazioni cui sod-

i

disfano sono sufficienti per definire completamente il gruppo B . La presen-

n

tazione di Artin mediante tali generatori standard sarà più volte utilizzata

nel seguito.

Solo recentemente sono stati trovati da Birman, Ko e Lee [10] nuovi ge-

neratori per B , definiti nel modo seguente.

n −1 −1 ≤ ≤

Sia σ = (σ ...σ )σ (σ ...σ ), con 1 s < t n. Si pone, per

s,t t−1 s+1 s s+1 t−1

1.4 Generatori e relazioni fondamentali 15

Figura 1.3: Generatori σ di B

2 4

definizione, σ = σ e si ha, come immediata conseguenza, che B è

s,t t,s n

{σ ≤ ≤

generato da , 1 s < t n}, con le relazioni:

s,t − − − −

σ σ = σ σ , se (t r)(t q)(s r)(s q) > 0

s,t q,r q,r s,t ≤ ≤

σ σ = σ σ = σ σ , se 1 r < s < t n.

s,t r,s r,t s,t r,s r,t

Si esamina, ora, il legame tra i generatori standard e gli elementi del mapping

class group a essi associati.

{1, ×{0,

Siano assegnati P = 2, ...n} e la treccia geometrica con estremi P 1},

corrispondente al generatore σ . Sia D il disco del piano complesso, conte-

i M(D,

nente P ; allora si può definire l’elemento di P ), associato a σ e rap-

i

H(D,

∈

presentato da una mappa h P ), che scambia due punture i e i + 1 di

mezzo giro in senso antiorario.

Ad esempio, la Figura 1.3 mostra dei rappresentanti di una treccia geo-

∈

metrica e l’elemento del mapping class group corrispondente a σ B . La

2 4

×

treccia è disegnata attraverso la propria proiezione su I. L’elemento di

R

M(D, P ) viene indicato dall’immagine dell’asse reale, sotto l’azione di una

H(D,

funzione di P ).

1.5 Gruppo delle trecce B e gruppo libero su n generatori 16

n

Figura 1.4: D e i generatori di π (D , d )

n 1 n 0

1.5 Gruppo delle trecce B e gruppo libero

n

su n generatori

Si consideri il solito disco puntato D = D\P e un punto base d sulla

n 0

hx i,

frontiera di D . Indicato con F = , x , ...x il gruppo libero su n gene-

n n 1 2 n

3

ratori , il gruppo fondamentale π (D , d ) è isomorfo a F . I generatori x

1 n 0 n i

sono realizzati geometricamente come lacci con origine in d che si avvolgono

0

intorno alle punture p (Figura 1.4).

i

→

Sia φ : D D un omeomorfismo che mantiene fisso il bordo di D e

n n n

∼

∗

che induce un automorfismo φ del gruppo fondamentale π (D , d ) F .

=

1 n 0 n

Denotato con M il sottogruppo di Aut(F ) che contiene gli automorfismi

n n

∗

φ , si dimostra che esiste un isomorfismo tra M e B .

n n

L’omeomorfismo φ si può univocamente estendere a un omeomorfismo φ :

→

D D, che permuta gli elementi di P . Tale mappa è isotopa all’elemento

× →

identico 1 di D e tale isotopia F : D I D mantiene fisso ∂D .

D N

Per ogni t in I, F (x, t) è un omeomorfismo di D in se stesso, tale che

× → ×

F (x, 0) = 1 ed F (x, 1) = φ. Posto F : D I D I, tale che

D ×

F (x, t) = (F (x, t), t), l’immagine di P I sotto F è una treccia geometrica;

→

questo fatto garantisce l’esistenza di una mappa ben definita Aut(F ) B .

n n

3 Si ricordi che il gruppo libero su n generatori non possiede, per definizione, relazioni

che legano tra loro i generatori.

1.5 Gruppo delle trecce B e gruppo libero su n generatori 17

n

Figura 1.5: Il Dehn half twist

Questa applicazione viene data anche nella direzione opposta, mediante il

−

Dehn half twist (Figura 1.5).

Sia ξ una curva semplice e chiusa intorno alle punture p e p . Si identi-

i i+1 14 1 }

D = D\{−

fica la regione, delimitata da ξ, con il disco punteggiato , e

4

1 1

{z ∈ ≤ |z| ≤ × −

A = D : 1} con S D. Il Dehn half twist τ è l’identità

i

2 −πit π

1

∈ ×

D; τ trasforma (s, t) S I in (e s, t). τ è una rotazione di

fuori da i i 2

12

{z ∈ |z| ≤ }.

su D :

Valgono, inoltre, le seguenti relazioni:

−1

τ x = x x x

i i i i+1 i

τ x = x

i i+1 i 6

τ x = x , se j = i, i + 1.

i j j

Quindi: ≤ ≤ −

τ τ τ = τ τ τ , se 1 i (n 1)

i i+1 i i+1 i i+1

|i − ≥

τ τ = τ τ , se j| 2.

i j j i

Gli elementi τ soddisfano, dunque, le relazioni delle trecce. L’omomorfismo

i

→

B Aut(F ), si realizza quindi attraverso la corrispondenza

n n 7→

α τ . (1.3)

i i

→ →

Gli omomorfismi Aut(F ) B e B Aut(F ) sono tra loro inversi.

n n n n

Si tornerà nel capitolo 3, su questa interpretazione, che permetterà di indi-

viduare una rappresentazione fedele del gruppo delle trecce.

Il seguente risultato ricopre un ruolo importante nello studio del legame

1.5 Gruppo delle trecce B e gruppo libero su n generatori 18

n

tra trecce e nodi (in proposito si veda il capitolo 6): ∈ ⊆

Teorema 1.5.1. Sia β un automorfismo di F , allora β B Aut(F ) se

n n n

e solo se valgono le relazioni: −1 ≤ ≤

βx = w x w 1 i n, (1.4)

i i µ i

i

β(x x ...x ) = x x ...x , (1.5)

1 2 n 1 2 n ∈

dove (µ , µ , ...µ ) è una permutazione di (1, 2, ...n) e w F .

1 2 n i n

Capitolo 2

La rappresentazione di Burau

La rappresentazione di Burau è storicamente la prima a essere stata in-

trodotta ed è legata al polinomio di Alexander e alle algebre di Hecke (trattate

nel quarto capitolo).

Dopo aver definito la cosiddetta rappresentazione ridotta, ci si concentrerà

sulla forma matriciale e sulla forma non ridotta della rappresentazione, per

poi dimostrare i risultati sulla non fedeltà. La rappresentazione di Burau fu

≤

ritenuta per molto tempo fedele almeno per n 3 e quindi un buon candida-

to come rappresentazione fedele e lineare di B , per ogni n. Nel 1991 John

n ≥

Moody [21] ha dimostrato la non fedeltà per n 9 e, successivamente, si

≥

scoprı̀ la non fedeltà per n 6. A Bigelow [1] si deve la dimostrazione della

≥

non fedeltà per n 5. Rimane attualmente aperto il problema per il caso

n = 4.

2.1 Forma ridotta

{z ∈ |z| ≤

Sia D = : 1} il disco unitario del piano complesso. Siano

C

{p }

P = , p , ...p un insieme di n punture in D e D = D\P . Se d è

1 2 n n 1

un punto base sul bordo di D, π (D , d ) è generato da ψ , ψ , ...ψ , con ψ

1 n 1 1 2 n i

curva chiusa semplice, con punto base d che si avvolge in senso antiorario,

1 →

intorno all’i-esima puntura. L’omeomorfismo Φ : π (D , d ) è tale per

Z

1 n 1

19

2.1 Forma ridotta 20

cui Φ(ψ ) = q, i = 1, 2, ...n e permette di individuare un intero q associato a

i

ogni cammino ψ , detto numero di avvolgimento totale, che conta il numero

i

di volte in cui ψ si avvolge intorno alle punture.

i

Sia D̃ lo spazio di ricoprimento, che ha per gruppo fondamentale il nucleo

n ˜

di Φ. Scelto un sollevamento d di d a D̃ , il gruppo di trasformazioni di

1 1 n

∼

hqi

ricoprimento su D̃ è = Z.

n −1

1

Sia Λ l’anello di gruppo q ]; il gruppo di omologia H (

D̃ ) può essere

Z[q, 1 n

considerato come un Λ-modulo, in cui q agisce mediante le trasformazioni di

ricoprimento. H(D,

∈ ∈

Scelto un σ P ) rappresentante della classe [σ] B , esso può essere

n

utilizzato come omeomorfismo di D in se stesso. Se σ̃ è un sollevamento di

n ˜ ∗

σ a una mappa da D̃ in sè che fissa d , si ottiene un automorfismo σ̃ di

n 1

H (

D̃ ), visto come Λ-modulo.

1 n

Definizione 2.1. La mappa ∗

7→

ρ : σ σ̃ (2.1)

è la rappresentazione (ridotta) di Burau. −

La dimensione della rappresentazione è (n 1).

Anticipando qui il legame tra trecce e nodi e il concetto di “invariante” di

nodi, trattati ampliamente nel sesto capitolo, si osservi che la rappresentazio-

ne di Burau ricopre un ruolo fondamentale nello studio delle rappresentazioni

di B , anche per il suo legame con il polinomio di Alexander. Il polinomio

n

di Alexander A (t) di un nodo K si può calcolare infatti in modo diretto

K

dall’immagine di una treccia ζ, sotto l’azione della rappresentazione ridotta

di Burau. Indicato con b(ζ) il rappresentante di K, il polinomio di Alexander

è dato dalla formula: −

det(ρ(ζ) I )

n−1

A (t) = .

b(ζ) n−1

1 + t + ... + t

1 Un anello di gruppo A[G] è un anello costruito a partire da un anello A e da un gruppo

moltiplicativo G e i suoi elementi sono combinazioni di elementi di G a coefficienti in A.

2.2 Forma matriciale e forma non ridotta 21

Il polinomio della treccia chiusa associata a ζ è, cosı̀, un riscalamento del

polinomio caratteristico dell’immagine di ζ nella rappresentazione ridotta.

Una estensione del polinomio di Alexander è il polinomio HOMFLY, di cui

si parlerà nel sesto capitolo.

2.2 Forma matriciale e forma non ridotta

Siano X lo spazio ottenuto da D allargando le punture, e X̃ lo spazio

n

regolare di ricoprimento di X; l’azione di σ su H (

X̃) è data esplicitamente

i 1

dalle espressioni:  −

v + qv se j = i 1

j j+1







 −qv se j = i

 j (2.2)

ρσ (v ) =

i j v + v se j = i + 1

j−1 j







 v altrimenti

 j

{v }

con , v , ...v base in H (

X̃).

1 2 n−1 1

Le matrici associate alla rappresentazione di Burau sono date da:



 I 

 

 



−q I

1 0 0

1 



  

  

ρσ = .

ρσ = ρσ = −q 1 0

q 1

0 1   n−1

1 i 

  

  



    −q

q

0 0 1

I  



 I

Si dimostra immediatamente che queste matrici soddisfano le relazioni delle

trecce (1.1) e (1.2).

Reinterpretando la rappresentazione come −1

→

ρ : B GL (Z[q, q ]),

n n

si ha:

2.2 Forma matriciale e forma non ridotta 22

 

−q

1 0

 

7→ ⊕ ⊕

σ I I .

−q

0 0

i i−1 n−i−2

 

 

−1

0 1

La rappresentazione (n−1)-dimensionale ridotta di Burau è costituita da rap-

presentazioni n-dimensionali (non ridotte), ottenute rimuovendo una puntura

dal disco puntato D ; in questo modo si ottengono un nuovo disco puntato

n

D e uno spazio di ricoprimento regolare D̃ per D - che è proprio

n+1 n+1 n+1