# I numeri primi e l’Ipotesi di Riemann: tesi di laurea

The purpose of this dissertation is to give an overview on the Riemann Hypothesis. The Riemann Hypothesis is a question the German mathematician put about the distribution of the zeroes of an entire function derived from the analytic continuation of his zeta function, usually denoted by the Greek letter ��. Thus the basic reference of this dissertation is Riemann’s original paper – On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude (published in 1859) – where the connection between the zeta function and Number Theory is introduced and discussed. We will start recalling some important results of mathematical Analysis, like sequences and series.

I numeri primi e l’Ipotesi di Riemann, Tesi di laurea

INDICE ABSTRACT …………………………………………………………………………………………………………………….. 1

INTRODUZIONE …………………………………………………………………………………………………………….. 3

1. RICHIAMI DI ANALISI MATEMATICA I …………………………………………………………………… 5

1.1 SUCCESSIONI …………………………………………………………………………………………………… 5

1.1.1 Successioni in ℝ …………………………………………………………………………………………………. 5

1.1.2 Risultati sulle successioni …………………………………………………………………………………….. 7

1.1.3 Successioni di Cauchy e completezza……………………………………………………………………… 8

1.1.4 Successioni particolari …………………………………………………………………………………………. 8

1.2 SERIE ……………………………………………………………………………………………………………….. 9

1.2.1 Introduzione alle serie: sommatoria e prodotti infiniti………………………………………………… 9

1.2.2 Proprietà della sommatoria e dei prodotti (infiniti) ………………………………………………….. 11

1.2.3 Le serie ……………………………………………………………………………………………………………. 12

1.2.4 Risultati sulle serie…………………………………………………………………………………………….. 13

1.2.5 Convergenza assoluta ………………………………………………………………………………………… 16

1.3 LA FORMULA DI TAYLOR ………………………………………………………………………………. 16

1.3.1 Introduzione …………………………………………………………………………………………………….. 17

1.3.2 La formula di Taylor ………………………………………………………………………………………….. 17

1.3.3 Resto di Peano (o piccolo) ………………………………………………………………………………….. 19

1.3.4 �� grande ………………………………………………………………………………………………………….. 20

1.3.5 Resto integrale ………………………………………………………………………………………………….. 22

1.3.6 Resto di Lagrange ……………………………………………………………………………………………… 22

1.3.7 Tabulazione di funzioni ……………………………………………………………………………………… 22

2. RICHIAMI DI ANALISI MATEMATICA II ………………………………………………………………… 24

2.1 SUCCESSIONI DI FUNZIONI ……………………………………………………………………………. 24

2.1.1 Definizioni preliminari……………………………………………………………………………………….. 24

2.1.2 Risultati sulle successioni di funzioni ……………………………………………………………………. 26

2.2 SERIE DI FUNZIONI ………………………………………………………………………………………… 26

2.2.1 Introduzione …………………………………………………………………………………………………….. 26

2.2.2 Risultati sulle serie di funzioni …………………………………………………………………………….. 27

2.3 SERIE DI POTENZE …………………………………………………………………………………………. 28

2.3.1 Introduzione …………………………………………………………………………………………………….. 28

2.3.2 Risultati sulle serie di potenze ……………………………………………………………………………… 29

2.4 CENNI DI GEOMETRIA ANALITICA E TOPOLOGIA …………………………………………. 31

2.4.1 Introduzione …………………………………………………………………………………………………….. 31

2.4.2 Norma e prodotto scalare ……………………………………………………………………………………. 32

2.4.3 Un po’ di topologia in ℝ�� …………………………………………………………………………………… 33

2.4.4 Proprietà e caratteristiche dei sottoinsiemi di ℝ�� …………………………………………………….. 35

2.5 FUNZIONI DI DUE VARIABILI (REALI) ……………………………………………………………. 36

2.5.1 Introduzione …………………………………………………………………………………………………….. 36

2.5.2 Limiti e continuità …………………………………………………………………………………………….. 37

2.5.3 Derivate parziali ……………………………………………………………………………………………….. 41

2.5.4 Derivate successive ……………………………………………………………………………………………. 42

2.5.5 Gradiente e punti critici ……………………………………………………………………………………… 44

2.6 CURVE NEL PIANO …………………………………………………………………………………………. 46

2.6.1 Introduzione …………………………………………………………………………………………………….. 46

2.6.2 Curve nel piano (in ℝ��) ……………………………………………………………………………………… 47

2.6.3 Spazi semplicemente connessi …………………………………………………………………………….. 49

3. RICHIAMI DI ANALISI COMPLESSA ………………………………………………………………………. 51

3.1 I NUMERI COMPLESSI…………………………………………………………………………………….. 51

3.1.1 Il campo complesso …………………………………………………………………………………………… 51

3.1.2 Complessi coniugati e modulo …………………………………………………………………………….. 52

3.1.3 Rappresentazione geometrica dei numeri complessi ………………………………………………… 53

3.1.4 Prodotto e potenza ��-esima di numeri complessi …………………………………………………….. 54

3.1.5 Radici ��-esime di un numero complesso ……………………………………………………………….. 55

3.2 FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA…………………………………………………… 56

3.2.1 Topologia e successioni nel piano complesso …………………………………………………………. 56

3.2.2 Funzioni, limiti e continuità ………………………………………………………………………………… 57

3.2.3 Derivabilità in senso complesso …………………………………………………………………………… 58

3.2.4 Successioni e serie in campo complesso ………………………………………………………………… 59

3.2.5 Serie di potenze ………………………………………………………………………………………………… 60

3.2.6 Principio di identità per le funzioni olomorfe …………………………………………………………. 62

3.2.7 Esponenziale e funzioni trigonometriche ……………………………………………………………….. 63

3.2.8 Confronto con il caso reale e periodicità………………………………………………………………… 64

3.2.9 Osservazioni …………………………………………………………………………………………………….. 66

3.2.10 Funzione Logaritmo …………………………………………………………………………………………. 67

3.2.11 Potenze con esponente complesso ………………………………………………………………………. 68

3.3 INTEGRAZIONE COMPLESSA …………………………………………………………………………. 69

3.3.1 Curve in ℂ ……………………………………………………………………………………………………….. 69

3.3.2 Integrale su una curva ………………………………………………………………………………………… 70

3.3.3 L’indice di avvolgimento e le sue proprietà ……………………………………………………………. 71

3.3.4 Risultati importanti sulla integrazione complessa ……………………………………………………. 72

3.4 SVILUPPO DI LAURENT, ZERI E SINGOLARITA’ …………………………………………….. 75

3.4.1 Sviluppo di Laurent …………………………………………………………………………………………… 75

3.4.2 Zeri di una funzione di variabile complessa ……………………………………………………………. 75

3.4.3 Singolarità isolate ……………………………………………………………………………………………… 76

3.5 RESIDUI ………………………………………………………………………………………………………….. 77

3.5.1 I residui e il teorema dei residui …………………………………………………………………………… 78

4. GRAFICI DI FUNZIONI …………………………………………………………………………………………… 79

4.1 FUNZIONI DI DUE VARIABILI REALI ……………………………………………………………… 79

4.1.1 Grafici tridimensionali ……………………………………………………………………………………….. 79

4.1.2 Grafici bidimensionali ……………………………………………………………………………………….. 82

4.2 GRAFICO DI UNA FUNZIONE DI VARIABILE COMPLESSA ……………………………… 85

4.2.1 Introduzione …………………………………………………………………………………………………….. 85

4.2.2 Tridimensionale (modulo) …………………………………………………………………………………… 86

4.2.3 Grafico tridimensionale (���� �� o ���� �� ) ………………………………………………………………. 87

4.2.4 Altri tipi di grafici (bidimensionali)………………………………………………………………………. 87

5. TEORIA DEI NUMERI – DIVISIBILITA’, NUMERI PRIMI E CONGRUENZE ………………. 89

5.1 DIVISIBILITA’ E NUMERI PRIMI ……………………………………………………………………… 89

5.1.1 Introduzione …………………………………………………………………………………………………….. 89

5.1.2 Divisibilità e divisione tra interi …………………………………………………………………………… 90

5.1.3 La successione dei numeri primi ………………………………………………………………………….. 93

5.1.4 Massimo comun divisore e minimo comune multiplo ………………………………………………. 94

5.1.5 Calcolo del MCD e del mcm ……………………………………………………………………………….. 95

5.2 CONGRUENZE ………………………………………………………………………………………………… 97

5.2.1 La relazione di congruenza …………………………………………………………………………………. 97

5.2.2 Un punto di vista differente sulle congruenze …………………………………………………………. 98

5.2.3 Operazioni con le congruenze ……………………………………………………………………………… 99

6. I NUMERI PRIMI…………………………………………………………………………………………………….101

6.1 LA SEQUENZA DEI PRIMI E LA FUNZIONE �� ………………………………………………….101

6.1.1 Numeri primi – analisi qualitativa ………………………………………………………………………..101

6.1.2 Una legge per i numeri primi ………………………………………………………………………………103

6.1.3 Numeri di Fermat ……………………………………………………………………………………………..103

6.1.4 Numeri di Mersenne ………………………………………………………………………………………….104

6.1.5 Numeri perfetti …………………………………………………………………………………………………106

6.1.6 Perché sempre le potenze del 2?…………………………………………………………………………..107

6.1.7 Numeri di Germain ……………………………………………………………………………………………107

6.1.8 Altre sequenze ………………………………………………………………………………………………….108

6.1.9 Primi gemelli ……………………………………………………………………………………………………109

6.1.10 Primi cugini e sexy ………………………………………………………………………………………….110

6.1.11 La funzione �� �� …………………………………………………………………………………………….110

6.2 RISULTATI E ALGORITMI PER LA PRIMALITA’ ……………………………………………..113

6.2.1 Primi, algoritmi e complessità ……………………………………………………………………………..113

6.2.2 Un algoritmo elementare …………………………………………………………………………………….113

6.2.3 Il crivello di Eratostene ………………………………………………………………………………………114

6.2.4 Il piccolo teorema di Fermat ……………………………………………………………………………….116

6.2.5 Gli pseudoprimi di Charmichael…………………………………………………………………………..117

6.2.6 La funzione �� di Eulero ……………………………………………………………………………………..118

6.2.7 Altri teoremi sui primi e le congruenze …………………………………………………………………119

6.2.8 Equazioni con i moduli ………………………………………………………………………………………120

6.2.10 L’algoritmo di Solovay-Strassen ………………………………………………………………………..126

6.2.11 Algoritmo di Miller-Rabin ………………………………………………………………………………..127

6.2.12 Algoritmo AKS ………………………………………………………………………………………………129

7. COSTANTE DI EULERO-MASCHERONI ………………………………………………………………….132

7.1 Esistenza della costante (��) ……………………………………………………………………………………132

7.2 Osservazioni ……………………………………………………………………………………………………….134

7.3 Conclusione………………………………………………………………………………………………………..136

8. LA FUNZIONE GAMMA …………………………………………………………………………………………137

8.1 Introduzione ……………………………………………………………………………………………………….137

8.2 Definizione (in ℝ) e proprietà ………………………………………………………………………………..138

8.3 Estensioni della funzione Gamma al piano complesso (��≠0) …………………………………….139

8.4 La funzione Π …………………………………………………………………………………………………….140

9. IL LOGARITMO INTEGRALE………………………………………………………………………………….142

9.1 Il logaritmo integrale ……………………………………………………………………………………………142

9.2 Il logaritmo integrale e i numeri primi……………………………………………………………………..145

10. TEORIA ANALITICA DEI NUMERI ……………………………………………………………………..147

10.1 LE FUNZIONI ARITMETICHE ………………………………………………………………………….147

10.1.1 Alcuni esempi famosi di funzioni aritmetiche: ��,�� ,Λ ……………………………………………147

10.1.2 Prime proprietà delle funzioni aritmetiche ……………………………………………………………149

10.1.3 Inverse e formula di inversione di Möbius ……………………………………………………………150

10.1.4 Funzioni moltiplicative …………………………………………………………………………………….151

10.1.5 Altre funzioni (moltiplicative) ……………………………………………………………………………152

10.1.6 Derivata di una funzione aritmetica e formula del prodotto di Eulero………………………..154

10.2 SERIE DI DIRICHLET ………………………………………………………………………………………155

10.2.1 Serie di Dirichlet ……………………………………………………………………………………………..156

10.2.2 Formula di somma di Eulero ……………………………………………………………………………..157

10.2.3 Applicazioni della formula di somma di Eulero …………………………………………………….159

10.2.4 Le funzioni di Chebyshev …………………………………………………………………………………161

11. LA FUNZIONE �� DI RIEMANN …………………………………………………………………………….163

11.1 Introduzione: dalla serie armonica generalizzata alla �� ……………………………………………..163

11.2 Alcune rappresentazioni della �� ……………………………………………………………………………164

11.3 La rappresentazione integrale ……………………………………………………………………………….166

11.4 Un collegamento tra la �� e i primi …………………………………………………………………………167

11.5 Collegamenti tra la �� e alcune funzioni aritmetiche ………………………………………………….168

12. PROLUNGAMENTI ANALITICI DELLA FUNZIONE �� …………………………………………..172

12.1 PROLUNGAMENTO DELLA �� �� AL SEMIPIANO ���� �� >0 (��≠1) ………………….172

12.1.1 Un primo passo ……………………………………………………………………………………………….172

12.1.2 Un altro semplice prolungamento ……………………………………………………………………….173

12.2 ESTENSIONE A TUTTO ℂ{1} ………………………………………………………………………….174

12.2.1 Un difficile integrale: l’estensione di Riemann ……………………………………………………..175

12.2.2 Valori di �� �� per �� intero negativo …………………………………………………………………….178

12.3 EQUAZIONE FUNZIONALE PER LA �� ………………………………………………………………181

12.3.1 Primo metodo di Riemann per l’equazione funzionale ……………………………………………181 12.3.2 Osservazioni importanti dall’equazione funzionale ………………………………………………..186 12.3.3 Le funzioni �� e �� di Jacobi ……………………………………………………………………………….189 12.3.4 Secondo metodo utilizzato da Riemann ……………………………………………………………….190 12.3.5 Altri metodi per la prova dell’equazione funzionale ………………………………………………193 13. GLI ZERI DELLA �� E L’IPOTESI DI RIEMANN……………………………………………………..194 13.1 LA FUNZIONE �� DI RIEMANN …………………………………………………………………………194 13.1.1 La funzione �� di Riemann …………………………………………………………………………………194 13.1.2 Osservazioni importanti per la �� …………………………………………………………………………195 13.1.3 Motivazioni della �� ………………………………………………………………………………………….197 13.1.4 Rappresentazione di Riemann per la �� …………………………………………………………………197 13.1.5 Osservazioni sulla rappresentazione della �� �� ……………………………………………………..200 13.1.6 Formula prodotto per la �� e infinità degli zeri ……………………………………………………….201 13.2 GLI ZERI DELLE FUNZIONI �� E �� DI RIEMANN ……………………………………………….203 13.2.1 Il punto ��=1 e la linea ���� �� =1 …………………………………………………………………….204 13.2.2 Sugli zeri banali e non banali della �� �� ………………………………………………………………205 13.2.3 �� �� non si annulla per ���� �� =1 ……………………………………………………………………..206 13.3 L’IPOTESI DI RIEMANN ………………………………………………………………………………….209 13.3.1 Gli zeri della �� e quelli della ��: striscia critica ………………………………………………………209 13.3.2 Dall’articolo di Riemann all’ipotesi…………………………………………………………………….210 13.3.3 Osservazioni/Conclusioni sull’ipotesi di Riemann …………………………………………………211 13.3.4 I primi zeri non banali della funzione �� ……………………………………………………………….212 13.3.5 Rappresentazioni grafiche della �� ……………………………………………………………………….214 14. TEOREMI DI VON MANGOLDT (STIMA DEGLI ZERI E FORMULA ESPLICITA) …..216 14.1 TEOREMA DI RIEMANN-VON MANGOLDT …………………………………………………….216

14.1.1 Introduzione …………………………………………………………………………………………………..216

14.1.2 Stima per la ��………………………………………………………………………………………………….217

14.1.3 Il principio dell’argomento………………………………………………………………………………..220

14.1.4 La densità degli zeri …………………………………………………………………………………………223

14.2 LA FORMULA DI PERRON ………………………………………………………………………………226

14.2.1 Alcune proprietà preliminari ……………………………………………………………………………..227

14.2.2 Valutazione di un integrale ……………………………………………………………………………….227

14.3 LA FORMULA ESPLICITA PER LA �� ……………………………………………………………….232

14.3.1 Il legame tra la �� e la �� …………………………………………………………………………………….232

14.3.2 Qualche considerazione sulla convergenza …………………………………………………………..233

14.3.3 La “pericolosità” del logaritmo complesso e l’arte di “differenziare logaritmicamente” .234

14.3.4 Formula esplicita: base……………………………………………………………………………………..235

14.3.5 Formula esplicita: dimostrazione ………………………………………………………………………..239

14.3.6 Commenti ………………………………………………………………………………………………………242

15. ALTRI RISULTATI PER LA FUNZIONE �� ……………………………………………………………..244

15.1 Formula di Eulero-McLaurin ……………………………………………………………………………….244

15.2 Equazione funzionale approssimata e formula di Riemann-Siegel ………………………………245

16. FORMULA PER LA FUNZIONE ��…………………………………………………………………………247

16.1 Le trasformate di Fourier …………………………………………………………………………………….247

16.2 Definizione della �� �� …………………………………………………………………………………………248

16.3 L’inversione di Fourier ……………………………………………………………………………………….251

16.4 Sostituzione nell’integrale……………………………………………………………………………………252

16.5 Formula per la �� �� ……………………………………………………………………………………………254

16.6 Dalla �� �� alla �� �� ……………………………………………………………………………………………257

16.7 Formula approssimata …………………………………………………………………………………………259

16.8 Importanza di questo risultato ………………………………………………………………………………260

17. CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI RIEMANN ……………………………………………………..262

17.1 Ipotesi di Lindelöf ……………………………………………………………………………………………..262

17.2 Relazioni con il Teorema dei Numeri Primi ……………………………………………………………263

17.3 La funzione �� di Möbius ……………………………………………………………………………………..264 CONCLUSIONE …………………………………………………………………………………………………………….266

APPENDICE I: ARTICOLO DI RIEMANN ……………………………………………………………………….268

APPENDICE II: IL TEOREMA DI HARDY ………………………………………………………………………278

APPENDICE III: IL TEOREMA DEI NUMERI PRIMI ……………………………………………………….281

APPENDICE IV: FORMULA PRODOTTO DI HADAMARD PER LA �� ……………………………….296

Introduzione alla formula prodotto……………………………………………………………………………….296

Questioni di convergenza …………………………………………………………………………………………..298

Risultati intermedi …………………………………………………………………………………………………….303

La convergenza e la formula prodotto …………………………………………………………………………..306

La formula prodotto ………………………………………………………………………………………………….310

APPENDICE V: NOTE STORICHE………………………………………………………………………………….312

Riemann e la “sua” zeta ……………………………………………………………………………………………..312

L’ipotesi nella storia ………………………………………………………………………………………………….313

I tentativi di dimostrare l’ipotesi ………………………………………………………………………………….314

APPENDICE VI: LA CANZONE DELLA ZETA ………………………………………………………………..316

The Zeta Function song ……………………………………………………………………………………………..316

Traduzione: la canzone della Funzione zeta …………………………………………………………………..318 Bibliografia…………………………………………………………………………………………………………………….323 Sitografia ……………………………………………………………………………………………………………………….325

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