Tesi di laurea triennale in matematica. Lo scopo che ci poniamo in questa tesi è quello di formulare un modello matematico, e una metodologia che permetta la descrizione dell'evoluzione di alcuni tra i più interessanti fenomeni che si presentano in natura. 
L'equazione che ci accompagna e detta di reazione-diffusione.
Indice
Introduzione
1. Un Teorema di esistenza e unicità
1.1 Preliminari
1.2 Teorema di esistenza e unicità
2 Domini invarianti
2.1 Motivazioni
2.2 Domini invarianti
2.2.1 Una spiegazione "fisica"
2.2.2 Il caso dei rettangoli
3 Un teorema di confronto
3.1 Problemi associati
3.2 Teorema di confronto
4 Due esempi fisicamente interessanti
4.1 Modello Preda-Predatore
4.1.1 Alla ricerca di un dominio invariante
4.1.2 Applichiamo il confronto
4.2 Un Modello di Competizione (scoiattoli rossi vs scoiattoli grigi)
4.2.1 Alla ricerca di un dominio invariante
4.2.2 Applichiamo il confronto 2
Osservazioni finali
Nei due sistemi che abbiamo analizzato abbiamo sempre ottenuto una situazione limite, ovvero una situazione che ha sempre portato all'estinzione almeno di una delle due popolazioni.
Ciò è dovuto ovviamente alla natura dei coefficienti scelti. In alcuni casi infatti si possono studiare casi (tramite metodi che vanno oltre quello di confronto) nei quali si ottiene una certa ciclicità degli eventi.Ovvero per esempio prendendo il modello preda-predatore si può in determinate condizioni presentarsi la seguente situazione: se le prede iniziali non sono abbondanti può veri carsi una diminuzione di predatori (in quanto le prede non riescono a soddisfare le necessità di tutti), la qual cosa porta quindi a un aumento di prede (essendo minacciate da meno predatori), e ciò porta quindi a un aumento di predatori (in quanto ci sono piu prede a disposizione) che porta quindi a una diminuzione di prede, e il ciclo si ripete.
Un altro tipo di analisi che si può effettuare su modelli di sistemi di reazione diffusione e quello riguardante le onde viaggianti, ovvero si tratta di un'analisi che descrive il modo con cui un sistema passa da uno stato di equilibrio all'altro a causa di una perturbazione. Ma questa è un' altra storia...
Bibliografia
[1] Joel Smoller. Shock waves and reaction-di usion equations. Springer, 1994.
[2] Murray, Dickson. Mathematical biology. Springer, 1989.
[3] Keener, James. Mathematical physiology. Springer, 1998.
[4] Dym, McKean. Fourier series and integrals. Academic Press, 1972.
[5] Friedman. Partial di erential equations of parabolic types. Prentice-Hall, 1964.
[6] Du y. Green's functions with application. Chapman&Hall, 2001.
[7] C.V.Pao Nonlinear parabolic and elliptic equations. Plenum Press, 1992.
[8] Mascia. Note del corso: Modelli analitici per le Applicazioni II. 40
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