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Esercizi con l’utilizzo di limiti notevoli
1 lim 2 2 0
lim , 0,
0 4 4
2 2
Ricordando le formule di addizione e sottrazione degli archi:
;
4 4 4 4
4 4
lim
lim 2
2 2
4 √2
2 √2 √2
2
lim lim
2 2 2
Esiste un modo più elegante di affrontare questo limite, ricordandosi il metodo dell’angolo
incognito, per la seguente formula , 0
Nel nostro caso sarà: 1
√1 √2
√2 4 1 4
√2 4
lim lim lim , 0
4
2 2 2
2 2 4
√2 √2
lim 2 2
1 2
2 lim 3 1 2 0
lim , 0,
3 0 3 3
1 2 1 2
3 3 3
lim lim 3
3 3
1 √3 1 1 √3 1 √3 √3
lim lim · · ·0 ·1
3 3 3 3 3 3
1 0
lim
3 2
3 lim 3 4 3 2
lim 1
3 4
Analizziamo la base, e trasformiamola utilizzando dove Q(x) è il quoziente
della divisione tra polinomi e R(x) è il resto.
1
Quindi da cui
3 2 8 1
lim lim 1 lim 1 3 4
3 4 3 4 8
, ∞ ,
Posto 1 1 1
lim 1 lim 1 lim 1
1 1
lim 1 · 1 ·1 √
Lo stesso limite si può risolvere in modo più celere facendo le giuste considerazioni:
3 2 8 1
lim lim lim
1 1 3 4
3 4 3 4 8
Moltiplicando e dividendo l’esponente per 1
lim 1 3 4
8
Ricordiamo che:
3 4
lim ∞ ,
8 8 2 4 16
lim 3 4 3
1
1
lim √
3 4
8
4 lim 1
1
Dimostrazione
, ∞
Posto 1
lim lim 1
1
1
5 lim 1 2
Moltiplicando e dividendo l’esponente per x ·
lim 1 lim 1 lim 1
lim 1 ! , lim 1 lim 1
· 1