Teorema: Siano ? ed ?′ rispettivamente la matrice dei coefficienti e la matrice completa di un dato sistema lineare e siano ? ed ?′ i loro ranghi. Il sistema è possibile se e soltanto se $r=r’$.
Osservazione 1: Osserviamo che in virtù della definizione di rango di una matrice, deve risultare necessariamente \(r \le r’\), visto che ? è una matrice estratta da ?′. Se avremo \(r \lt r’\) il sistema risulterà impossibile per il teorema di Rouché-Capelli; se invece sarà \(r = r’\) il sistema sarà possibile, e potrà dunque risultare determinato o indeterminato.
Osservazione 2: Abbiamo già osservato che se un sistema è omogeneo, ovvero se i suoi termini noti sono tutti nulli, allora senza subbio il sistema è possibile, ammettendo esso la soluzione banale costituita tutta da 0. Ciò è in perfetto accordo con quanto predicato dal teorema di Rouché-Capelli, poiché in caso di sistema omogeneo la matrice dei coefficienti e quella completa si differenziano solo per una colonna tutta nulla, e quindi hanno di certo lo stesso rango.
Procedimento risolutivo: Vediamo adesso come risolvere un sistema lineare basandoci sul teorema di Rouché-Capelli. A questo scopo, sia \( A \cdot x = b\) un sistema lineare:
- Per prima cosa controlliamo che ? ed ?′ abbiano lo stesso rango $r = r’$; se ciò non è vero, per l’osservazione 1 il sistema è impossibile e quindi non ha senso proseguire nei calcoli; se invece $r = r’$, il sistema è possibile e possiamo procedere;
- Se ? ha rango $r$, vuol dire che esiste una matrice ? quadrata di tipo \(r \times r\) estratta da ? il cui determinante non è nullo, tale cioè da risultare \(|M| \ne 0\). Individuiamo tale matrice e consideriamo il sistema di $r$ equazioni costituito da quelle equazioni i cui coefficienti appartengono alle righe di ?;
- In tale sistema consideriamo come incognite solo quelle i cui coefficienti appaiono nelle colonne di ?, e trattiamo tutte le altre come fossero termini noti. Abbiamo così un sistema di $r$ equazioni in $r$ incognite la cui matrice dei coefficienti è ?;
- Visto che \(|M| \ne 0\), applichiamo al sistema ottenuto il metodo della matrice inversa, per esempio adoperando la regola mnemonica di Cramer. In questa maniera otteniamo gli unici $r$ valori da assegnare alle $r$ incognite del sotto-sistema tali da verificare tutte le sue equazioni;
- Visto che il sotto-sistema è contenuto in quello iniziale, qualsiasi soluzione del secondo deve verificare anche il primo; poiché poi abbiamo appena trovato l’unica soluzione del primo, allora i valori che le $r$ incognite del sotto-sistema devono assumere per risolvere quello principale sono gli stessi. Il sistema è così risolto.
Osservazione 3: Sia $m$ il numero di equazioni del sistema iniziale. Naturalmente in nessun caso può risultare \( m \lt r\), dal momento che il rango di una matrice non può essere maggiore al numero delle sue righe (o delle sue colonne). Se risulta $r=m$, allora tutte le equazioni del sistema iniziale vengono scelte per risolvere quello estratto; i valori da associare alle eventuali $n-r$ incognite che non compaiono come tali nel sistema estratto possono essere scelti in modo del tutto arbitrario, poiché ininfluenti nella soluzione del sistema. Se \(n -r \gt 0\), il sistema è indeterminato.
Osservazione 4: Se $m=r$ e $n=r$, allora il sistema iniziale aveva effettivamente lo stesso numero di equazioni e incognite e, poiché il suo rango era uguale al numero di righe, il suo determinante era non nullo. In questo caso l’applicazione della regola di Cramer restituisce l’unica soluzione possibile, col che il sistema è determinato.
Osservazione 5: Se infine \(m \gt r\), le \(m-r\) equazioni non prescelte per la formazione del sotto-sistema sono ininfluenti per la soluzione, e quindi possono essere eliminate. Ciò è dovuto al fatto che, essendo il rango della matrice dei coefficienti $r$, esse risultano essere tutte combinazioni lineari delle $r$ equazioni selezionate.
Esempi applicativi
Esempio 1: Si risolva il sistema lineare
\( \begin{cases} 2x+3y-z-2v=0 \\ 4x-3y-5z +5v = 0 \\ 8x + 3y -7z +v = 0 \end{cases}\)
Iniziamo con l’osservare che il sistema considerato è omogeneo; segue dunque da una semplice applicazione dell’osservazione 2 che il sistema è possibile, grazie al teorema di Rouché-Capelli. Allo scopo di applicare il metodo risolutivo e le osservazioni da 3 a 5, ci serve comunque sapere quale sia il rango della matrice ?
\( A = \begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{3} & -1 & -2 \\ \color{red}{4} & \color{red}{-3} & -5 & 5 \\ 8 & 3 & -7 & 1 \end{pmatrix} \)
Per questo motivo applichiamo il teorema degli orlati. Si vede a occhio che il determinante della matrice evidenziata in rosso non è nullo, e infatti fa −18; ne consegue che il rango della matrice ? è almeno 2. Per sincerarcene non dobbiamo fare altro che orlarla negli unici due modi possibili, e scoprire così che
\( \begin{vmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{3} & -1 \\ \color{red}{4} & \color{red}{-3} & -5 \\ 8 & 3 & -7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{3} & -2 \\ \color{red}{4} & \color{red}{-3} & 5 \\ 8 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0\)
col che il rango è effettivamente $r=2$, e la matrice ? è \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -3\end{pmatrix}\). Scriviamo il sotto-sistema estratto, nel quale le incognite sono solo quelle in rosso:
\(\begin{cases} 2\color{red}{x}+3\color{red}{y}=z+2v \\ 4\color{red}{x}-3\color{red}{y}=5z-5v \end{cases} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z+2v \\ 5z-5v \end{pmatrix}\)
Tale sistema si risolve con la regola di Cramer:
\( x = \frac{\begin{vmatrix} z+2v & 3 \\ 5z-5v & -3 \end{vmatrix}}{-18} = z – \frac{v}{2}\,\,\,\, , \,\,\,\, y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & z+2v \\ 4 & 5z-5v \end{vmatrix}}{-18} = v – \frac{z}{3} \)
Abbiamo così scoperto che il sistema iniziale è indeterminato: i valori delle incognite ? e ? possono infatti essere scelti arbitrariamente, e se si avrà poi cura di porre \(x=z-\frac{v}{2}\) e \(y=v-\frac{z}{3}\) il sistema sarà verificato.
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