[ H_O: frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 ,,,, \text{ e } ,,,, H_O: frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 ]
I fuochi della prima appartengono all'asse ?, mentre quelli della seconda giacciono sull'asse ?. Esse consentono di considerare al contempo tutte le iperboli riferite ai propri assi possibili. Quando non ci saranno differenze, parleremo genericamente dell'iperbole ?.
Assi di simmetria, vertici e fuochi di un'iperbole
Osservazione 1: Consideriamo i punti ( A_1(-a, 0), A_2(a, 0), B_1(0, b) ) e ( B_2(0, -b) ). Risulta evidente, operando una semplice sostituzione nelle equazioni, che i primi due di essi appartengono ad[frac{x^2}{a^2}=1Rightarrow x=pm a]
Se invece poniamo ?=0, l'equazione diventa ( - frac{y^2}{b^2}=1 ), senza soluzioni dal momento che il termine a sinistra è negativo o nullo, mentre quello a destra è strettamente positivo. Un ragionamento speculare può essere svolto per
Definizione 1: Vertici di un'iperbole.
Si dice vertice di un'iperbole ciascuna delle sue intersezioni con gli assi coordinati. Dunque per un'iperbole con i fuochi sull'asse ? come
Osservazione 2: Supponiamo che il punto
[frac{x^2_P}{a^2}-frac{y^2_P}{b^2}=1Rightarrowfrac{(pm x_P)^2}{a^2}-frac{(pm y_P)^2}{b^2}=1]
Questo dimostra che l'iperbole ?, indipendentemente dai valori assunti da ? e ?, risulta simmetrica rispetto agli assi coordinati. Ciò consente di dare la seguente definizione:
Definizione 2: Asse trasverso e asse non trasverso.
Si chiama asse trasverso di un'iperbole
Osservazione 3: Le coordinate dei fuochi dipendono, come sappiamo, dal valore ?. Poiché è noto come questo si ricava a partire da ? e ?, che figurano nell'equazione di ?, possiamo dire senz'altro che
[\text{per }H_ORightarrow F_1(-\sqrt{a^2+b^2},0),F_2(\sqrt{a^2+b^2},0)]
[\text{per }H_VRightarrow F_1(0,-\sqrt{a^2+b^2}),F_2(0,\sqrt{a^2+b^2})]
Illimitatezza di un'iperbole
Osservazione 4: Vogliamo dimostrare che il grafico dell'iperbole è illimitato, ovvero che esistono punti appartenenti a tale grafico a distanza comunque grande dall'origine degli assi. A questo proposito consideriamo un punto ?(?,?) appartenente all'iperbole[frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1Rightarrow y=b\sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}]
La radice quadrata può essere calcolata se e solo se ( x^2/a^2-1ge 0 ) , il che equivale a dire (x^2ge a^2), ovvero (|x|gt a). Ciò significa che possiamo scegliere ? comunque grande, purché maggiore di ?, e troveremo un valore di ? ad esso corrispondente tale che (Pin H_O). Questo prova che il grafico dell'iperbole è illimitato, e incidentalmente anche che esso è tutto esterno alla fascia di piano compresa tra le rette (x=-a) e (x=a). Da questa osservazione risulta pure che il grafico dell'iperbole non è connesso come quello dell'ellisse o della parabola, cioè che non è composto tutto da un solo "pezzo", poiché esiste in due parti di piano disgiunte. Dunque ha senso dare la seguente definizione:
Definizione 3: Ramo d'iperbole.
Si chiama ramo ciascuna delle due parti disconnesse in cui risulta diviso il grafico di un'iperbole per mezzo della retta cui appartiene il suo asse non trasverso.
Osservazione 5: Si osservi che un'iperbole, così come anche un'ellisse e una circonferenza, in generale non è una funzione: infatti ad alcuni valori di ? corrispondono più valori differenti di ?, tipicamente simmetrici. Se però ci limitiamo ad osservare uno dei due rami di un'iperbole i cui fuochi sono disposti verticalmente, esso costituisce il grafico di una funzione.
Altro materiale di questo sito sull'iperbole
Esercizio sull'iperbole equilatera (dal forum)