_stan
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Nel corso di tutta questa scheda considereremo due generiche iperboli
[math] H_O [/math]
ed
[math] H_V [/math]

[ H_O: frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 ,,,, \text{ e } ,,,, H_O: frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 ]

I fuochi della prima appartengono all'asse ?, mentre quelli della seconda giacciono sull'asse ?. Esse consentono di considerare al contempo tutte le iperboli riferite ai propri assi possibili. Quando non ci saranno differenze, parleremo genericamente dell'iperbole ?.

Assi di simmetria, vertici e fuochi di un'iperbole

Osservazione 1: Consideriamo i punti ( A_1(-a, 0), A_2(a, 0), B_1(0, b) ) e ( B_2(0, -b) ).
Risulta evidente, operando una semplice sostituzione nelle equazioni, che i primi due di essi appartengono ad
[math] H_O [/math]
ma non ad
[math] H_V [/math]
, mentre per i secondi di essi vale il contrario. Si vede inoltre facilmente che essi sono le uniche intersezioni delle iperboli con gli assi coordinati. Infatti se nell'equazione di
[math] H_O [/math]
poniamo ?=0, abbiamo

[frac{x^2}{a^2}=1Rightarrow x=pm a]

Se invece poniamo ?=0, l'equazione diventa ( - frac{y^2}{b^2}=1 ), senza soluzioni dal momento che il termine a sinistra è negativo o nullo, mentre quello a destra è strettamente positivo. Un ragionamento speculare può essere svolto per

[math] H_V [/math]
.

Definizione 1: Vertici di un'iperbole.

Si dice vertice di un'iperbole ciascuna delle sue intersezioni con gli assi coordinati. Dunque per un'iperbole con i fuochi sull'asse ? come

[math] H_O [/math]
i vertici sono
[math] A_1 [/math]
e
[math] A_2 [/math]
, mentre per le iperboli come
[math] H_V [/math]
essi sono
[math] B_1 [/math]
e
[math] B_2 [/math]
.

Vertici di un'iperbole con fuochi sull'asse x delle ascisse

Vertici di un'iperbole con fuochi sull'asse y delle ordinate

Osservazione 2: Supponiamo che il punto

[math] P(x_P, y_P) [/math]
appartenga ad ?. Allora è chiaro che anche i punti
[math] Q(x_P, -y_P), R(-x_P, y_P) [/math]
e
[math] S(-x_P, -y_P) [/math]
appartengono ad ?, poiché

[frac{x^2_P}{a^2}-frac{y^2_P}{b^2}=1Rightarrowfrac{(pm x_P)^2}{a^2}-frac{(pm y_P)^2}{b^2}=1]

Questo dimostra che l'iperbole ?, indipendentemente dai valori assunti da ? e ?, risulta simmetrica rispetto agli assi coordinati. Ciò consente di dare la seguente definizione:

Definizione 2: Asse trasverso e asse non trasverso.

Si chiama asse trasverso di un'iperbole

[math] H_O [/math]
il segmento
[math] A_1A_2 [/math]
avente i vertici come estremi, sul prolungamento del quale giacciono i fuochi; è detto invece asse non trasverso il segmento
[math] B_1B_2 [/math]
. Per un'iperbole
[math] H_V [/math]
le due definizioni sono invertite.

Osservazione 3: Le coordinate dei fuochi dipendono, come sappiamo, dal valore ?. Poiché è noto come questo si ricava a partire da ? e ?, che figurano nell'equazione di ?, possiamo dire senz'altro che

[\text{per }H_ORightarrow F_1(-\sqrt{a^2+b^2},0),F_2(\sqrt{a^2+b^2},0)]

[\text{per }H_VRightarrow F_1(0,-\sqrt{a^2+b^2}),F_2(0,\sqrt{a^2+b^2})]

Illimitatezza di un'iperbole

Osservazione 4: Vogliamo dimostrare che il grafico dell'iperbole è illimitato, ovvero che esistono punti appartenenti a tale grafico a distanza comunque grande dall'origine degli assi. A questo proposito consideriamo un punto ?(?,?) appartenente all'iperbole
[math] H_O [/math]
e contenuto nel primo quadrante. Per esso varrà la relazione

[frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1Rightarrow y=b\sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}]

La radice quadrata può essere calcolata se e solo se ( x^2/a^2-1ge 0 ) , il che equivale a dire (x^2ge a^2), ovvero (|x|gt a). Ciò significa che possiamo scegliere ? comunque grande, purché maggiore di ?, e troveremo un valore di ? ad esso corrispondente tale che (Pin H_O). Questo prova che il grafico dell'iperbole è illimitato, e incidentalmente anche che esso è tutto esterno alla fascia di piano compresa tra le rette (x=-a) e (x=a). Da questa osservazione risulta pure che il grafico dell'iperbole non è connesso come quello dell'ellisse o della parabola, cioè che non è composto tutto da un solo "pezzo", poiché esiste in due parti di piano disgiunte. Dunque ha senso dare la seguente definizione:

Definizione 3: Ramo d'iperbole.

Si chiama ramo ciascuna delle due parti disconnesse in cui risulta diviso il grafico di un'iperbole per mezzo della retta cui appartiene il suo asse non trasverso.

Osservazione 5: Si osservi che un'iperbole, così come anche un'ellisse e una circonferenza, in generale non è una funzione: infatti ad alcuni valori di ? corrispondono più valori differenti di ?, tipicamente simmetrici. Se però ci limitiamo ad osservare uno dei due rami di un'iperbole i cui fuochi sono disposti verticalmente, esso costituisce il grafico di una funzione.


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Formulario sull'iperbole

Esercizio sull'iperbole equilatera (dal forum)