Equazione generale dell'ellisse

Ellisse traslata ed equazione generale dell'ellisse

Equazione dell'ellisse traslata: Consideriamo un'ellisse riferita ai propri assi, per esempio con i fuochi sull'asse delle ascisse. Se operiamo una traslazione del sistema di coordinate che porti gli assi ? ed ? in ?…² ed ?…² e, di conseguenza, il punto ? nel punto , anche l'ellisse risulterà traslata. Avremo ottenuto così un'ellisse traslata, o come anche si suole chiamarla, riferita a rette parallele ai suoi assi.

Se l'equazione dell'ellisse originaria era ( E: frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 ), l'ellisse traslata ?…² si potrà scrivere come

[ \begin{equation} E': frac{(x-x_0)^2}{a^2} + frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 label{eq1} end{equation} ]

Svolgendo i semplici conti algebrici che figurano nell'equazione precedente, otterremo poi

[ b^2(x-x_0)^2+a^2(y-y_0)^2-a^2b^2 = 0 ]

[ b^2(x^2+x^2_0-2xx_0) + a^2(y^2+y^2_0 -2yy_0)-a^2b^2 = 0 ]

[ b^2x^2+a^2y^2-2b^2x_0x-2a^2y_0y+b^2x^2_0+a^2y^2_0-a^2b^2=0 ]

Questa equazione può essere scritta più semplicemente nella forma

[ \begin{equation} mx^2+ny^2+px+qy+r = 0 label{eq2} end{equation} ]

avendo cura di fare le seguenti posizioni:

[ m = b^2,, , ,, n=a^2,, , ,, p=-2b^2x_0,, , ,, q=-2a^2y_0,, ,,, r=b^2x^2_0+a^2y^2_0-a^2b^2 ]

Osservazione 1: In realtà perché l'equazione ((\ref{eq1})) possa essere scritta nella forma ((\ref{eq2})) non è necessario fare esattamente le posizioni appena citate, ma è sufficiente che i numeri ?,?,… siano proporzionali ai valori ( b_2, a_2, ldots ) secondo un qualsiasi numero reale ? costante e non nullo.

In particolare, ? ed ? non devono per forza essere positivi, se il ? scelto è negativo.

Osservazione 2: Poiché abbiamo visto che l'equazione di qualunque ellisse traslata può scriversi nella forma ((\ref{eq2})), è logico domandarsi se qualsiasi equazione fatta come la ((\ref{eq2})) possa rappresentare un'ellisse. La risposta è in generale negativa, come risulta da una semplice considerazione: non esiste valore reale ? tale che ( ka^2 ) e ( kb^2 ) siano uno positivo e l'altro negativo, dunque ? ed ? devono quanto meno essere concordi, cioè avere lo stesso segno, affinché la ((\ref{eq2})) rappresenti un'ellisse.

Equazione generale dell'ellisse: In questo paragrafo estenderemo i ragionamenti fatti nell' osservazione 2, col fine di scoprire quali condizioni deve soddisfare la ((\ref{eq2})) al fine di essere l'equazione di un'ellisse: giungeremo così all'equazione generale.

Iniziamo con il riscrivere la ((\ref{eq2})) nel modo seguente:

[ mx^2+ny^2+px+qy+r=0 Rightarrow mBig( x^2 + frac{p}{m}x Big) + nBig(y^2 + frac{q}{n}y Big) + r = 0 ]

Questo è lecito perché se ?=0 oppure ?=0 di certo l'equazione, non essendo più di secondo grado in una delle due variabili, non può rappresentare un'ellisse: i casi suddetti vanno perciò scartati. Poiché dall'osservazione 2 segue che ? ed ? devono essere concordi, essi si possono senz'altro prendere entrambi positivi cambiando in modo opportuno i segni dell'equazione. Ciò ci porta a dire che gli unici casi d'interesse sono quelli in cui ( m gt 0 ) ed ( n gt 0 ).

Le somme in parentesi somigliano a dei quadrati di binomio, e lo diventano a patto di aggiungervi i termini ( frac{p^2}{4m^2} ) e ( frac{q^2}{4n^2} ) ; adoperando questo metodo, detto del completamento dei quadrati, potremo scrivere

[ mBig( x^2+frac{p}{m}x+frac{p^2}{4m^2} Big) - frac{p^2}{4m} + n Big( y^2+frac{q}{n}y+frac{q^2}{4n^2} Big) - frac{q^2}{4n} + r = 0]

[ m Big( x + frac{p}{2m} Big)^2 + n Big( y + frac{q}{2n} Big)^2 + r - frac{p^2}{4m} - frac{q^2}{4n} = 0 ]

Indicata poi con ? la somma algebrica ( frac{p^2}{4m} + frac{q^2}{4n} - r ), otterremo infine

[ \begin{equation} frac{Big( x + frac{p}{2m} Big)^2}{frac{1}{n}} + frac{Big(y+frac{q}{2n} Big)^2}{frac{1}{n}} = s label{eq3} end{equation} ]

Se ( s gt 0 ), allora l'equazione ((\ref{eq3})) può essere riscritta nella forma seguente, che è quella di un'ellisse traslata di centro ( O'Big(-frac{p}{2m}, -frac{q}{2n}Big) ), con ( a = \sqrt{frac{s}{m}} ) e ( b = \sqrt{frac{s}{n}}):

[ frac{Big(x+frac{p}{2m} Big)^2}{frac{s}{m}} + frac{Big(y+frac{q}{2n} Big)^2}{frac{s}{n}} = 1 ]

Se invece ?=0, allora la ((\ref{eq3})) è soddisfatta solo dal punto ( Big( -frac{p}{2m}, - frac{q}{2n} Big) ), che è il centro dell' ellisse ottenuta nel caso precedente; si dice quindi che tale punto è un'ellisse degenere nel suo centro. Se infine è ( s lt 0 ), Si nota subito che la ((\ref{eq3})) non ha soluzioni perché le quantità a destra e a sinistra del segno di uguaglianza non possono mai avere lo stesso segno.

Da questo ragionamento deduciamo che l'equazione (mx^2+ny^2+px+qy+r=0 ) è l'equazione generale di un'ellisse se e solo se ? ed ? sono concordi, cioè ( mn gt 0 ), e inoltre ( frac{p^2}{4m}+frac{q^2}{4n} gt r ).

Esempi

Esempio 1: Si provi che l'equazione rappresenta una ellisse; si trovino quindi le coordinate del centro e dei fuochi.

In questo caso abbiamo ?=9,?=4,?=−12,?=−12,?=−23. Dal momento che ( mn = 36 gt 0 ), i primi due coefficienti sono concordi, e la prima condizione è rispettata; inoltre essi sono positivi, e non c'è quindi bisogno di cambiare i segni di tutta l'equazione. Per la seconda condizione dovremmo avere

[ frac{p^2}{4m} + frac{q^2}{4n} gt r ]

ma questa è certo rispettata dal momento che la prima quantità è positiva, mentre l'altra è negativa: non c'è quindi neanche bisogno di svolgere sul serio il semplice calcolo.

Onde ricavare adesso le coordinate del centro e dei fuochi, abbiamo bisogno di scrivere l'equazione data nella forma ((\ref{eq1})). Adoperiamo a questo proposito il già visto metodo di completamento dei quadrati:

( 9x^2+4y^2-12x-12y-23=0 Rightarrow 9Big(x^2-frac{12}{9}x Big)+4Big(y^2-frac{12}{4}y Big)-23=0 )

( 9Big(x^2-frac{4}{3}x Big) + 4(y^2-3y) -23 = 0 )

( 9Big(x^2-frac{4}{3}+frac{4}{9} Big) - 4 + 4 Big(y^2-3y+frac{9}{4} Big) - 9 - 23 = 0 )

( 9Big(x-frac{2}{3} Big)^2 + 4 Big(y-frac{4}{2} Big)^2 = 36 )

Dalla quale infine avremo

( frac{Big(x-frac{2}{3} Big)^2}{4} + frac{Big(y-frac{3}{2} Big)^2}{9} = 1 )

Questa è l'equazione di un'ellisse traslata di centro (Big(frac{2}{3}, frac{3}{2} Big)); resta effettivamente verificato che vale ( O'Big(-frac{p}{2m}, -frac{q}{2n} Big)). Abbiamo inoltre che ?=2 e ?=3, col che dal fatto che ( b gt a ) segue che i vertici dell'ellisse sono disposti sulla retta parallela all'asse delle ? passante per O', ovvero quella di equazione ( x = frac{2}{3} ).

Per trovare le coordinate dei fuochi non ci resta che calcolare ?, che in questo caso è ( c= \sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{9-4} = \sqrt{5} ). I fuochi saranno allora ( F_1Big( frac{2}{3}, frac{3}{2}-\sqrt{5} Big) ) e ( F_2Big( frac{2}{3}, frac{3}{2}+\sqrt{5} Big) ).