Elementi di un fascio di parabole
Definizione 1: Definizione di fascio di parabole
Si considerino due parabole non coincidenti
[math] \displaystyle \Pi_1 [/math]
e
[math] \displaystyle \Pi_2 [/math]
entrambe con asse verticale, le cui
equazioni siano rispettivamente
[math] \displaystyle y=a_1x^2+b_1x+c_1 [/math]
e
[math] \displaystyle y=a_2x^2+b_2x+c_2 [/math]
. Si chiama fascio di parabole di prima generatrice
[math] \displaystyle \Gamma_1 [/math]
e seconda generatrice
[math] \displaystyle \Gamma_2 [/math]
la combinazione lineare
[math] \displaystyle \begin{equation} \Phi: y-a_1x^2-b_1x-c_1+ k(y-a_2x^2-b_2x-c_2)=0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(1)} \end{equation} [/math]
con ? parametro reale.
Osservazione 1: Se nell'equazione
[math] (1) [/math]
del fascio svolgiamo i calcoli e mettiamo in evidenza possiamo ottenere, qualora sia
[math] \displaystyle k \ne -1 [/math]
,
[math] \displaystyle \begin{equation} \Phi: y=\frac{a_1+ka_2}{k+1}x^2+\frac{b_1+kb_2}{k+1}x+\frac{c_1+kc_2}{k+1} \, \, \, \, \, \, \, \text{(2)} \end{equation} [/math]
Questa maniera di scrivere l'equazione del fascio
[math] \displaystyle \Phi [/math]
sottolinea come, al variare di
[math] \displaystyle k \in \mathbb{R}, k \ne -1 [/math]
, esso descriva una famiglia infinita di parabole, la cui equazione canonica la
[math](2)[/math]
.
Osservazione 2: Se nell'equazione
[math](1)[/math]
del fascio si sostituisce ?=0, quella che si ottiene è una
parabola particolare, la prima generatrice
[math] \displaystyle \Gamma_1 [/math]
.
Non esiste invece valore di ? tale da far ottenere la seconda generatrice
[math] \displaystyle \Gamma_2 [/math]
: in verità si dice, anche se a questo punto del corso di studi non si è nelle condizioni di capire bene il perché, che
[math] \displaystyle \Gamma_2 [/math]
si ottiene per
[math] \displaystyle k = \infty [/math]
. Ad ogni buon conto i ruoli delle due generatrici non sono simmetrici, il che giustifica i nomi con cui vengono distinte.
Osservazione 3: Proviamo a prendere due qualsiasi parabole di
[math] \displaystyle \Phi [/math]
e a intersecarle. Otterremo così, fissati due parametri reali ? e ? distinti da ?1 e diversi tra loro, il sistema
[math] \displaystyle \begin{cases} \Pi_K \\ \Pi_H \end{cases} \rightarrow\begin{cases} y=\frac{a_1+ka_2}{k+1}x^2+\frac{b_1+kb_2}{k+1}x+\frac{c_1+kc_2}{k+1} \\ y=\frac{a_1+ha_2}{h+1}x^2+\frac{b_1+hb_2}{h+1}x+\frac{c_1+hc_2}{h+1} \end{cases} [/math]
Sottraendo la seconda equazione dalla prima, otteniamo che una delle equazioni a nostra scelta può essere sostituita dalla
[math] \displaystyle \Big(\frac{a+ka_2}{k+1}-\frac{a_1+ha_2}{h+1} \Big)x^2+\Big(\frac{b+kb_2}{k+1}-\frac{b_1+hb_2}{h+1} \Big) [/math]
[math]\displaystyle x+\Big(\frac{c+kc_2}{k+1}-\frac{c_1+hc_2}{h+1} \Big) = 0 [/math]
nella quale non compare più l'incognita ?. Svolgendo i conti in parentesi, si ha infine
[math] \displaystyle \begin{equation} (a_1-a_2)x^2+(b_1-b_2)x+(c_1-c_2) \, \, \, \, \, \, \, \text{(3)} \end{equation} [/math]
ossia un'equazione di secondo grado in ? nella quale non compaiono più i parametri ? e ?.
Le soluzioni di tale equazione, che possono essere due, una o nessuna a seconda del valore di
[math] \displaystyle \delta [/math]
, costituiscono le ascisse dei punti d'intersezione delle parabole
[math] \displaystyle \Pi_K [/math]
e
[math] \displaystyle \Pi_H [/math]
, ma non dipendono n da ?, n da ?. Ciò significa che, se ci sono delle soluzioni, tutte le parabole del fascio si intersecano in tutti e soli quei punti, mentre se non ci sono soluzioni tutte le parabole del fascio sono tra loro disgiunte.
Definizione 2: Definizione di punti base
Si chiamano punti base di un fascio di parabole
[math] \displaystyle \Phi [/math]
i punti d'intersezione comuni a tutte le parabole del fascio. Essi possono essere in numero di 0, 1 o 2.
Osservazione 4: In virtù dell'osservazione 3, la definizione di punti base è lecita, in quanto tutte le parabole del fascio si intersecano negli stessi punti. poiché tali punti si possono trovare intersecando due qualsiasi delle parabole del fascio, essi sono anche i punti d'intersezione delle generatrici
[math] \displaystyle \Pi_1 [/math]
e
[math] \displaystyle \Pi_2 [/math]
.
Definizione 3: Definizione di parabola degenere
Si chiama parabola degenere qualsiasi curva descritta da un dato fascio di parabole la cui equazione non possa essere scritta nella forma
[math] \displaystyle y=ax^2+bx+c [/math]
.
Osservazione 5: Se ad esempio nella
[math] (1) [/math]
sostituiamo ?=?1, quel che otteniamo è una equazione di secondo grado nell'incognita ?, che è una parabola degenere; lo stesso si verifica sostituendo
[math] \displaystyle k = -a_1/a_2 [/math]
nella
[math](2)[/math]
, ottenendo per un'equazione di primo grado. Nel primo caso si dice che la parabola degenera in una coppia di rette, le quali possono essere coincidenti; nel secondo caso la parabola degenere invece è una sola retta.
Esempi di determinazione degli elementi di un fascio di parabole
Esempio 1: Si trovino le generatrici, i punti base e le eventuali parabole degeneri del fascio di equazione
[math] \displaystyle \Phi: y=\frac{2+k}{k+1}x^2+\frac{8-3k}{2+2k}x-3 [/math]
.
Prima di tutto troviamo le generatrici
[math] \displaystyle \Pi_1 [/math]
e
[math] \displaystyle \Pi_2 [/math]
; per riuscirci occorre mettere ? in evidenza nell'equazione del fascio, dopo aver svolto il minimo comune multiplo:
[math] \displaystyle y-\frac{2+k}{k+1}x^2-\frac{8-3k}{2+2k}x+3=0 [/math]
[math] \displaystyle \frac{2ky+2y-4x^2-2kx^2-8x+3kx+6+6k}{2k+2}= [/math]
[math] \displaystyle = 0 \rightarrow k(2y-2x^2+3x+6)=4x^2+8x-2y-6 [/math]
[math] \displaystyle k\Big(y-x^2+\frac{3}{2}x+3 \Big)+(y-2x^2-4x+3)=0 [/math]
Sostituendo ?=0 otteniamo l'equazione della prima generatrice,
[math] \displaystyle \Pi_1: y=2x^2+4x-3 [/math]
; il fattore di ?, per contro, è l'equazione della seconda generatrice:
[math] \displaystyle \Pi_2: y=x^2-\frac{3}{2}x-3 [/math]
.
In virtù dell'osservazione 4, i punti base si possono trovare semplicemente intersecando le equazioni di
[math] \displaystyle \Pi_1 [/math]
e
[math] \displaystyle \Pi_2 [/math]
. Procedendo in questo modo si ha
[math]\begin{cases} y=2x^2+4x-3 \\ y=x^2-\frac{3}{2}x-3 \end{cases} \rightarrow\begin{cases} x^2+\frac{11}{2}x=0 \\ y=-7x-3 \end{cases} \rightarrow [/math]
[math] \displaystyle \rightarrow \begin{cases} x=0&,&x=-\frac{11}{2} \\ y=-3&,&y=\frac{71}{2} \end{cases} [/math]
cosicché i punti base sono ?(0,?3) e
[math] \displaystyle B\Big(-\frac{11}{2},\frac{71}{2} \Big) [/math]
. Seguendo poi il ragionamento esposto nel corso dell'osservazione 5, troviamo infine le equazioni delle parabole degeneri; esse corrispondono ai valori di ? pari a ?1 e a
[math] \displaystyle -a_1/a_2 [/math]
, che in questo caso fa ?2. Sostituendo avremo
[math] \displaystyle k=-1 \rightarrow -\Big(y-x^2+\frac{3}{2}x+3 \Big)+(y-2x^2-4x+3)=0 \rightarrow [/math]
[math] \displaystyle \rightarrow x^2+\frac{11}{2}x=0 [/math]
[math] \displaystyle k=-2 \rightarrow -2\Big(y-x^2+\frac{3}{2}x+3 \Big)+(y-2x^2-4x+3)=0 \rightarrow [/math]
[math] \displaystyle \rightarrow y+7x+3=0 [/math]
La prima equazione corrisponde a due rette verticali di equazioni ?=0,
[math] \displaystyle x=-\frac{11}{2} [/math]
, mentre la seconda è l'equazione di una retta. Ci sono dunque due parabole degeneri: la prima è la coppia di rette parallele, la seconda è la terza retta.
Osservazione 6: Al lettore non sarà sfuggito che le equazioni delle parabole degeneri dell'esercizio precedente sono le stesse che abbiamo intersecato nel secondo passaggio volto ad ottenere i punti base. Ciò non costituisce un caso fortuito, ma un'eventualità che si presenta per ogni fascio di parabole.
Altro materiale di supporto
Esercizio proposto
Dato il fascio di parabole
[math] \displaystyle y=ax^2+(1-4a)x-(1-4a) [/math]
determinare:
- i punti base del fascio;
- il luogo dei vertici delle diverse parabole del fascio;
- le tangenti alle parabole del fascio nei punti base dello stesso.
Dal risultato ottenuto cosa si può dedurre?
Soluzione nella videolezione sul sito delle lezioni
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