Retta passante per due punti dati
Formula: Siano fissati due punti distinti[ \begin{equation} frac{y-y_A}{y_B-y_A} = frac{x-x_A}{x_B-x_A} label{eq1} end{equation} ]
Dimostrazione: Consideriamo la retta generica
[ \begin{cases} y_A = mx_A + q \ y_B = mx_B + q end{cases} Rightarrow \begin{cases}y_A -mx_A = y_B - mx_B \ q = y_B - mx_B end{cases} Rightarrow \begin{cases} m = frac{y_B-y_A}{x_B - x_A} \ q = y_B - Big( frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} Big) x_B end{cases} ]
nel quale il secondo passaggio si ottiene sottraendo membro a membro, mentre il terzo è lecito perché ( x_B - x_A
e 0 ) per ipotesi.
[ y = Big( frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} Big)x + Big[ y_B - Big( frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} Big) x_B Big] Rightarrow frac{y}{y_B-y_A} = frac{x}{x_B-x_A} + frac{y_B}{y_B-y_A} - frac{x_B}{x_B-x_A} ]
che si trasforma facilmente nella (( \ref{eq1} )) con pochi passaggi algebrici.
Osservazione 1: Se ? e ? sono allineati verticalmente o orizzontalmente, la (( \ref{eq1} )) non vale perché, siccome
Retta passante per un punto dato avente dato coefficiente angolare
Formula: Siano fissati un punto[ \begin{equation} y - y_0 = m (x-x_0) label{eq2} end{equation} ]
Dimostrazione: Dal momento che la retta ricercata ha un ben determinato coefficiente angolare, essa può essere scritta nella forma esplicita
[ y_0 = mx_0 + q Rightarrow q = y_0 - mx_0 ]
Cosicché la retta è ( y = mx + (y_0 - mx_0) ), o il che è lo stesso
Applicazione: Asse di un segmento
Ci proponiamo adesso di utilizzare la formula appena trovata per calcolare l'equazione dell' asse di un segmento ?? di cui siano note le coordinate degli estremi
Per risolvere il problema vogliamo trovare in primo luogo la retta ??, e in particolare il suo coefficiente angolare ?, quindi rintracciare il punto medio ? di ?? e infine trovare quella retta di coefficiente angolare −1/? che passa per ?: ciò ci garantisce infatti che sia perpendicolare ad ??. In virtù di (( \ref{eq1} )), la retta per ? e per ? è
[ y = Big( frac{y_B-y_A}{x_A - x_B} Big) x + Big[ y_B - Big( frac{y_B - y_A}{x_B-x_A} Big) x_B Big] Rightarrow m = frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} Rightarrow -frac{1}{m} = frac{x_A-x_B}{y_B-y_A} ]
Il punto medio di ?? ha invece coordinate ( M Big( frac{x_A+x_B}{2}, frac{y_A+y_B}{2} Big) ). Quindi dalla formula ((\ref{eq2} )) si ha infine che l'asse è
[ y - frac{y_A+y_B}{2} = Big( frac{x_A-x_B}{y_B-y_A} Big) Big( x - frac{x_A+x_B}{2} Big) ]
Distanza di un punto da una retta
Formula: Siano fissati una retta ? la cui equazione in forma implicita è[ \begin{equation} d(r, P) = frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} label{eq3} end{equation} ]
Dimostrazione: Consideriamo le rette per ? parallele agli assi coordinati; è chiaro che esse avranno equazioni
Calcoliamo le distanze ?? e ??:
[ PA = -frac{c+ax_0}{b} - y_0 = frac{ax_0+by_0+c}{b} ,,,,, , ,,,,, PB = -frac{c+by_0}{a} -x_0 = -frac{ax_0+by_0+c}{a} ]
Detto ora ? il piede della perpendicolare condotta da ? a ?, adoperando il primo teorema di Euclide possiamo dire che ( PA^2 = AB cdot AH ) e ( PB^2 = AB cdot BH ). Ciò implica pure che ( AH cdot BH = frac{PA^2PB^2}{AB} = Big( frac{PAcdot PB}{AB} Big)^2), e per il secondo teorema di Euclide si ha ( PH^2 = AH cdot BH ); dunque utilizzando il teorema di Pitagora per calcolare ?? avremo
[ PH = frac{PBcdot PB}{AB} = frac{Big( frac{ax_0+by_0+c}{b} Big)Big( frac{ax_0+by_0+c}{a} Big)}{\sqrt{Big( frac{ax_0+by_0+c}{b} Big)^2 + Big( frac{ax_0+by_0+c}{a} Big)^2}} = ]
[ = frac{(ax_0+by_0+c)^2}{ab} : Big( frac{|ax_o+by_0+c| \sqrt{a^2+b^2}}{ab} Big) = frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} ]
che è la formula ricercata.
Applicazione: Bisettrici degli angoli formati da due rette incidenti
Supponiamo di avere due rette ? ed ? incidenti in un punto ?, non necessariamente l'origine del sistema di coordinate. Esse, come sappiamo, formano quattro angoli opposti al vertice; il problema che ci proponiamo di risolvere consiste nel trovare le equazioni delle rette ? e ?…² rosse in figura, ovvero delle bisettrici degli angoli formati dalle rette incidenti.
È noto dalla geometria piana che esse costituiscono, quando considerate insieme, il luogo geometrico dei punti ? del piano equidistanti dalle due rette date. Detti ? e ? i piedi delle perpendicolari condotte da
[ PA = PB Rightarrow frac{|a_1x+b_1y +c_1|}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}} = frac{|a_2x+b_2y +c_2|}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}} ]
come facilmente risulta dalla formula (( \ref{eq3} )). Considerando i valori assoluti in tutte le possibili combinazioni di segno, l'equazione appena scritta si esplicita nelle seguente
[ frac{a_1+b_1y+c_1}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}} = pm frac{a_2x+b_2y +c_2}{a^2_2+b^2_2} ]
che è l'equazione di due rette: la prima si ottiene scrivendola con il segno più, e la seconda con il meno. Esse sono naturalmente le equazioni delle rette ? e ?…² ricercate.
