Iperbole equilatera e funzione omografica

Iperbole equilatera riferita ai propri assi

Definizione 1: Si chiama iperbole equilatera una qualsiasi iperbole i cui semiassi trasverso e non trasverso hanno la stessa misura.

Osservazione 1: Consideriamo un’iperbole equilatera riferita ai propri assi, avente per esempio i fuochi appartenenti all’asse delle ascisse. Visto che in questo caso in virtù della definizione 1 è ?=?, la sua equazione sarà

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\Rightarrow x^2-y^2=a^2\]

 

Iperbole equilatera riferita ai propri assi
Osservazione 2: Dal momento che la semidistanza focale si calcola come \(c=\sqrt{a^2+b^2}\), in questo caso risulta \(c=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a\), indipendentemente dal fatto che i vertici siano disposti orizzontalmente o verticalmente. L’eccentricità, calcolandosi come ?/? o ?/? nei due casi, in questo caso vale sempre \(e=c/a=\sqrt{2}\).

Osservazione 3: Sempre nel caso di cui si parla nell’osservazione 1, calcoliamo le equazioni degli asintoti; poiché esse sono normalmente \(y=\pm\frac{b}{a}x\), in questo caso abbiamo \(y=\pm x\), visto che ?=?. Gli asintoti coincidono dunque con le bisettrici dei quadranti, e sono per questo tra loro ortogonali. Nel caso in cui l’iperbole equilatera sia traslata, risulteranno traslati anche gli asintoti e quindi la loro perpendicolarità sarà mantenuta.

Osservazione 4: Non è normalmente in uso la terminologia “ellisse equilatera” perché se nell’equazione dell’ellisse poniamo ?=?, quel che otteniamo è semplicemente una circonferenza. Si potrebbe dire, in termini imprecisi e descrittivi, che l’iperbole equilatera sia l’equivalente iperbolico di una circonferenza, la quale invece è ellittica.

 

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Osservazione 5: Come già visto nell’osservazione 3, gli asintoti di un’iperbole equilatera sono ortogonali, proprio come gli assi coordinati. Viene allora naturale domandarsi come si modificherebbe l’equazione dell’iperbole qualora, operando una rotazione di 45° in verso orario o antiorario, si portassero gli asintoti dell’iperbole a coincidere con gli assi ? ed ?.

Metodo per ricavare l’equazione: Visto che l’iperbole è equilatera, la distanza focale è \(2\sqrt{2}a\); ciò significa che ciascuno dei fuochi, che adesso si vengono a trovare su una delle bisettrici dei quadranti, diciamo su quella del primo e del terzo, disterà dall’origine \(\sqrt{2}a\). I fuochi avranno dunque coordinate \(F_1(-a, a), F_2(a, a)\). Possiamo ora procedere come al solito per ricavare l’equazione:

\[|PF_1-PF_2|=2a\Rightarrow (PF_1-PF_2)^2=4a^2\]

\[\Big(\sqrt{(x+a)^2+(y+a)^2}-\sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}\Big)^2=4a^2\]
Svolgendo i conti avremo

\[x^2+a^2+2ax+y^2+a^2+2ay+x^2+a^2-2ax+y^2+a^2-2ay-4a^2=\]

\[=2\sqrt{[(x+a)^2+(y+a)^2][(x-a)^2+(y-a)^2]}\]

\[2x^2+2y^2=2\sqrt{[(x+a)^2+(y+a)^2][(x-a)^2+(y-a)^2]}\]
Da cui, elevando nuovamente al quadrato per eliminare la radice quadrata,

\[(x^2+y^2)^2=[(x^2+2a^2+y^2)+(2ax+2ay)][(x^2+2a^2+y^2)-(2ax+2ay)]\]

\[x^4+y^4+2x^2y^2=(x^2+2a^2+y^2)^2-(2ax+2ay)^2\]

\[x^4+y^4+2x^2y^2=x^4+4a^4+y^4+4a^2x^2+4a^2y^4+2x^2y^2-4a^2x^2-4a^2y^2-8a^2xy\]

\[8a^2xy=4a^4\Rightarrow xy=\frac{a^2}{2}\Rightarrow xy=k\]
L’ultima equazione essendo stata ottenuta indicando con ? il numero positivo \(a^2/2\).

L’equazione ottenuta \(H: xy=k\) è quella ricercata dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

Osservazione 6: Qualora avessimo scelto di posizionare i fuochi sull’altra bisettrice dei quadranti, ovvero se avessimo effettuato una rotazione di 45° nel verso opposto, avremmo ottenuto la medesima equazione, ma con \(k\lt 0\).

 

Iperbole equilatera ruotata di 45 gradi
Osservazione 7: Come si vede dai grafici, l’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è una funzione, senza bisogno di restringerla a uno solo dei suoi rami. Essa è definita per ogni \(x\ne 0\), ed assume come valori tutti i numeri reali con l’esclusione di ?=0.

 

Funzione omografica

Definizione 2: Si chiama funzione omografica la funzione di equazione

\[y=\frac{ax+b}{cx+d}\]

nella quale i coefficienti ?,?,?,? sono scelti in modo tale che \(c\ne 0\) e \(ad\ne bc\).

Osservazione 8: Le richieste fatte nella definizione 2 riguardo i possibili valori assumibili dai coefficienti ?,?,?,? sono dovute alla volontà di non banalizzare la definizione. Se infatti fosse ?=0, avremmo

\[y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}\]

che è l’equazione di una retta. Se invece risultasse ??=??, allora visto che \(c\ne 0\) potremmo dire \(b=ad/c\) e, sostituendo, ottenere

\[y=\frac{ax+\frac{ad}{c}}{cx+d}=\frac{cax+ad}{c(cx+d)}=\frac{a(cx+d)}{c(cx+d)}=\frac{a}{c}\]

e quindi la funzione si ridurrebbe alla retta orizzontale \(y=a/c\). Si noti che, poiché certamente ? e ? non sono contemporaneamente 0, la semplificazione finale ha ragione di essere per ogni ?.

Osservazione 9: Vogliamo mostrare che una funzione omografica consiste in un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata in modo tale che il suo centro sia il punto \(O’\Big(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}\Big)\). Per fare ciò ci limiteremo a prendere l’equazione della funzione omografica come da definizione e a traslarla in direzione inversa, mostrando che otteniamo così un’equazione del tipo \(XY=k\). Sia

\[\begin{cases}X=x+\frac{d}{c}\\Y=y-\frac{a}{c}\end{cases}\]

Sostituendo i valori di ? e ? nella funzione omografica, abbiamo

\[Y+\frac{a}{c}=\frac{a\Big(X-\frac{d}{c}\Big)+b}{c\Big(X-\frac{d}{c}\Big)+d}\]

e dunque, svolgendo i calcoli,

\[Y=\frac{aX-\frac{ad}{c}+b}{cX-d+d}-\frac{a}{c}\Rightarrow Y=\frac{aX-\frac{ad}{c}+b}{cX}-\frac{a}{c}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow Y=\frac{aX-\frac{ad}{c}+b-aX}{cX}\]

Da cui, infine

\[Y=\frac{-\frac{ad}{c}+b}{cX}\Rightarrow XY=-\frac{ad}{c^2}+\frac{b}{c}\Rightarrow XY=k\]

 

Iperbole equilatera riferita agli asintoti
avendo posto naturalmente \(k=\frac{bc-ad}{c^2}\). Questo valore di ?, grazie alle limitazioni richieste per ?,?,?,? nella definizione 2, è sensato e non nullo, dunque l’equazione ottenuta è proprio quella di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

Osservazione 10: Come si vede dal grafico e dai conti fatti nell’osservazione 9, la funzione omografica è dunque un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata nel punto \(O’\Big(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}\Big)\). Come tale iperbole, anch’essa è una funzione. Dal momento però che i suoi asintoti sono le rette \(x=-\frac{d}{c}\) e \(y=\frac{a}{c}\) , la funzione omografica è definita ovunque tranne che in \(-\frac{d}{c}\) ed assume tutti i valori reali tranne \(\frac{a}{c}\) .

 

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