Definizioni
Definizione 1: Definizione di retta esternaUna retta si dice esterna a una parabola data se esse non hanno punti in comune.
Definizione 2: Definizione di retta tangente
Una retta si dice tangente a una parabola data se esse hanno uno e un solo punto in comune e la retta si trova tutta in una sola delle due parti in cui la parabola divide il piano. Il punto comune è detto di tangenza.
Definizione 3: Definizione di retta secante
Una retta si dice secante a una parabola data se essa ha punti da entrambe le parti in cui la parabola divide il piano.
I punti in comune tra la retta e la parabola sono generalmente detti d'intersezione.
Osservazione 1: Nell'immagine superiore la retta ? è esterna, e infatti non ha punti in comune con la parabola; la retta ? è tangente, visto che ha solo il punto ? in comune con la parabola e giace tutta dalla stessa parte di piano. Le rette ? e ? sono invece secanti, in quanto esse hanno punti tanto al di sopra, quanto al di sotto del grafico della parabola. Si noti che mentre ? ha due punti ? e ?…² in comune con la parabola, ? ne ha uno solo, ?. Questa eventualità è nuova, e non poteva verificarsi con le circonferenze.
Osservazione 2: Troviamo quali condizioni deve soddisfare il coefficiente angolare di una retta ? passante per un punto di una data parabola per essere secante ad essa in un sol punto. Per comodità fisseremo la parabola ( Pi ) con asse verticale, e dal momento che le proprietà d'intersezione non dipendono dalla posizione nel piano delle curve, potremo prendere ( Pi: y=ax^2 ): tutte le parabole possono infatti ridursi a una scrittura del genere tramite una semplice traslazione. Detto ( P(overline{x},aoverline{x}^2) ) il punto della parabola per cui passa la retta, risulterà ( r: y-aoverline{x}^2=m(x-overline{x}) ). Le sue intersezioni con ( Pi ) saranno allora
[ \begin{cases} r \ Pi end{cases} Rightarrow\begin{cases} y-aoverline{x}^2=m(x-overline{x}) \ y=ax^2 end{cases} Rightarrow ax^2-aoverline{x}^2=m(x-overline{x}) ]
Quest'ultima equazione si riscrive come (a(x+overline{x})(x-overline{x})=m(x-overline{x}) ), che si risolve di certo per ( x_1=overline{x} ), soluzione questa corrispondente al punto ?; resta poi ( a(x+overline{x})=m ), da cui risulta che la seconda soluzione è ( x_2=frac{m}{a}-overline{x} ). Ma noi vogliamo che esista un'unica soluzione, quindi dovrà essere ( x_1=x_2 Rightarrow frac{m}{a}-overline{x}=overline{x} Rightarrow m=2aoverline{x} ).
Da questi calcoli risulta che esiste un'unica retta del tipo ( y=mx+q ) che interseca ( Pi ) in un sol punto, quella corrispondente al coefficiente angolare ? trovato. Poiché ci aspettavamo di trovare almeno la retta tangente e abbiamo trovato una sola retta, quella trovata dev'essere per forza la tangente in ?. Dunque se una retta secante in un sol punto la parabola esiste, essa non si scrive come ( y=mx+q ). Poiché solo le rette parallele all'asse delle ordinate non sono di questo tipo, e poiché certamente dal fatto che Î è una funzione segue che queste rette intersecano la parabola in un sol punto, possiamo dedurre che le rette secanti in un sol punto la parabola sono tutte e sole le parallele all'asse ?.
Esempi di determinazione della retta tangente
Esempio 1: Si trovino, se esistono, le tangenti alla parabola ( Pi: y=2x^2+3x-5 ) passanti per il punto ?(?,?).Poiché il punto ?, come facilmente si verifica per via algebrica o grafica, giace nella parte di piano esterna rispetto alla parabola, la situazione richiesta dal problema è la stessa che è rappresentata nella figura seguente:
Ci aspettiamo perciò di trovare due rette tangenti. Per risolvere il problema, costruiamo prima di tutto il fascio proprio di rette di centro ?, che ha equazione ( Phi: y=m(x-2) ); intersechiamo adesso tale fascio con la parabola e troviamo i valori di ? tali che esista una sola soluzione:
( \begin{cases} y=m(x-2) \ y=2x^2+3x-5 end{cases} Rightarrow 2x^2+3x-5=mx-2m Rightarrow )
( Rightarrow 2x^2+(3-m)x+(2m-5)=0 )
( Delta=0 Rightarrow (3-m)^2-4cdot 2 cdot(2m-5)=0 Rightarrow m^2-22m+49=0 )
Da cui otteniamo le soluzioni ( m = 11pm6\sqrt{2} ). Questi sono i coefficienti angolari delle due rette tangenti cercate, ed il problema è risolto.
Esempio 2: Si trovino, se esistono, le tangenti alla parabola ( Pi: y=frac{1}{2}x^2-frac{1}{3}x+frac{1}{6} ) passanti per il punto ?(â?,?).
Questa volta risulta che il punto ? appartiene alla parabola: infatti si può calcolare che ( frac{(-1)^2}{2}-frac{1}{3}(-1)+frac{1}{6}=frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{6}=frac{3+2+1}{6}=1 ). Allora la situazione qui esemplificata è simile a quella riportata in figura
e ci aspettiamo perciò l'esistenza di una sola retta tangente. Per trovarla procediamo come nell'esempio 1: scriviamo in primo luogo l'equazione del fascio proprio di rette per ?
( Phi: y-1=m(x+1) Rightarrow y=mx+m+1 )
quindi la intersechiamo con la parabola ( Pi ), imponendo poi che la soluzione sia unica:
( \begin{cases}y=frac{1}{2}x^2-frac{1}{3}x+frac{1}{6} \ y=mx+m+1 end{cases} Rightarrow mx+m+1=frac{3x^2-2x+1}{6} Rightarrow )
( Rightarrow 3x^2-2x(1+3m)-(6m+5)=0 )
( Delta/4=0 Rightarrow (1+3m)^2+3(6m+5)=0 Rightarrow 9m^2+24m+16=0 Rightarrow (3m+4)^2=0 )
Com'è noto, quest'ultima equazione ha la sola soluzione ( m=-frac{4}{3} ) , che è il coefficiente angolare dell'unica retta tangente a ( Pi ) passante per ?; ciò risolve il problema.
Osservazione 3: Nei casi dei due esempi precedenti risulta che esistono due tangenti a una parabola passanti per un punto esterno, mentre ne esiste una sola passante per un punto appartenente alla parabola (il secondo di questi fatti seguiva già dall'osservazione 2). Ciò non è dovuto ai particolari esempi prescelti, ma è vero in senso generale.