Problemi elementari sulliperbole
Esempio 1: Si trovino la lunghezza dei semiassi, leccentricit, le coordinate dei fuochi e dei vertici e le equazioni degli asintoti delliperbole di equazione (H: 50x^2-25y^2-80x+150y-393=0)In primo luogo adoperiamo il metodo di completamento dei quadrati, in modo tale da avere lequazione delliperbole scritta chiaramente nella forma diperbole traslata:
(50Big(x^2-frac{8}{5}xBig)-25(y^2-6y)-393=0)
(50Big(x^2-frac{8}{5}+frac{16}{25}Big)-25(y^2-6y+9)-393-32+225=0)
(50Big(x-frac{4}{5}Big)^2-25(y-3)^2-200=0)
(2Big(x-frac{4}{5}Big)^2-(y-3)^2=8)
(H: frac{Big(x-frac{4}{5}Big)^2}{4}-frac{(y-3)^2}{8}=1)
Il centro della nostra iperbole allora il punto (O'Big(frac{4}{5}, 3Big)), essa ha i fuochi sullasse ?, ? vale (sqrt{4}=2) e (b=sqrt{8}=2sqrt{2}).
Dal fatto che liperbole disposta orizzontalmente, ricaviamo che lasse trasverso lungo (2a=4), mentre quello non trasverso misura (2b=4sqrt{2}); la distanza focale invece (2c=2sqrt{a^2+b^2}=2sqrt{4+8}=2sqrt{12}=4sqrt{3}), e dunque i fuochi distano esattamente (2sqrt{3}) dal centro delliperbole, il primo verso sinistra e il secondo verso destra. Risulta perci (F_{1,2}Big(frac{4}{5}pm 2sqrt{3}, 3Big)). Similmente i vertici disteranno (pm a) verso destra e verso sinistra dal centro delliperbole, cosicch (A_{1,2}Big(frac{4}{5}pm 2, 3Big)Rightarrow A_1Big(-frac{6}{5}, 3Big), A_2Big(frac{14}{5}, 3Big)).Gli asintoti sono quelle rette passanti per ?? di coefficienti angolari (pm b/a): essi si calcolano allora nel modo seguente, usando la formula della retta per un punto
(y=3pmsqrt{2}Big(x-frac{4}{5}Big))
Completiamo lesercizio trovando il valore delleccentricit delliperbole ?. Poich ? sempre uguale, indipendentemente dallorientazione delliperbole, al rapporto tra la distanza focale e lasse trasverso, in questo caso abbiamo (e=frac{c}{a}=sqrt{3}).
Esempio 2: Trovare lequazione delliperbole i cui asintoti sono le rette (y=-9) e (x=frac{8}{3}), sapendo che essa passa per il punto ?(?,?).
Poich gli asintoti delliperbole in esame sono due rette parallele agli assi coordinati, stiamo trattando il caso di uniperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata, o come anche la si chiama, di una funzione omografica. La sua equazione generale ha la forma
[y=frac{ax+b}{cx+d}]
con le dovute note restrizioni sui coefficienti. Le tre informazioni date si scrivono subito nella forma di sistema, ricordando che gli asintoti di una funzione omografica sono le rette (y=-frac{d}{c}) e (x=frac{a}{c}):
(egin{cases}-frac{d}{c}=-9\frac{a}{c}=frac{8}{3}\1=frac{a+b}{c+d}end{cases}Rightarrowegin{cases}d=9c\a=frac{8c}{3}\a+b=c+dend{cases}Rightarrow)
(Rightarrowegin{cases}d=9c\a=frac{8c}{3}\b=c+9c-frac{8c}{3}end{cases}Rightarrowegin{cases}d=9c\a=frac{8c}{3}\b=frac{22c}{3}end{cases})
Con queste relazioni, lequazione generale si riscrive nella forma
(y=frac{frac{8c}{3}+frac{22c}{3}}{cx+9c}=frac{8x+22}{3x+27})
Lultima semplificazione lecita dal momento che (c
e 0) per ipotesi; siamo cos giunti alla soluzione.
Problemi sulle intersezioni tra uniperbole e una retta
Esempio 3: Determina la posizione reciproca delliperbole (H: x^2-y^2+2sqrt{2}(2y-x)-10=0) e della retta (r: y=2x+4) , calcolando anche le coordinate degli eventuali punti dintersezione. Sono tutti sullo stesso ramo delliperbole?In questo caso non necessario scrivere lequazione delliperbole in maniera tale che si evidenzi la sua natura diperbole traslata, in quanto per la risoluzione dellesercizio ci basta lequazione nella forma data. Mettiamo a sistema le due equazioni e sostituiamo il valore di ? dato dalla seconda allinterno della prima, cos da ottenere
(egin{cases}x^2-y^2+2sqrt{2}(2y-x)-10=0\y=2x+4end{cases}Rightarrow)
(Rightarrow x^2-(2x+4)^2+2sqrt{2}(4x+8-x)-10=0)
(x^2-4x^2-16-16x+2sqrt{2}(3x+8)-10=0)
(-3x^2-26-16x+6sqrt{2}x+16sqrt{2}=0)
Risolvendo tale equazione di secondo grado per ? otteniamo facilmente le ascisse dei punti dintersezione:
(x_1=sqrt{2}-frac{10}{3},,,,,,,,,x_2=sqrt{2}-2)
Essi sono dunque due, e la retta ? risulta essere secante alliperbole ?. Troviamone anche le ordinate, semplicemente sostituendo i valori delle ascisse calcolati nellequazione della retta:
(y_1=2sqrt{2}-frac{8}{3},,,,,,,,,,y_2=2sqrt{2})
Non ci resta che determinare se i due punti trovati (P_1Big(sqrt{2}-frac{10}{3}, 2sqrt{2}-frac{8}{3}Big)) e(P_2Big(sqrt{2}-2, 2sqrt{2}Big)) appartengono o meno allo stesso ramo delliperbole ?. A questo proposito basta calcolare i coefficienti angolari degli asintoti della curva: se la pendenza della retta ? risulter compresa tra i due valori che troveremo, allora i punti dintersezione staranno su rami diversi delliperbole, altrimenti varr il contrario.
Poich le pendenze degli asintoti sono (pm b/a), se utilizzassimo il metodo di completamento dei quadrati potremmo arrivare, dopo molti calcoli, alla soluzione. Un metodo pi sbrigativo consisite nel ricordare che il rapporto tra i coefficienti di
