Problemi ricorrenti sulla parabola

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Esempi di problemi sulla parabola

Esempio 1: Trovare il vertice, il fuoco, la retta direttrice e l’asse di simmetria della parabola di equazione
[math]y=\frac{1}{4}x^2+x+2 [/math]
.

Per risolvere questo problema basta solo applicare le formule note riguardo le parabole; in particolare in questo caso, visto che la parabola è della forma (

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

), servono quelle relative alle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse ?.

Dunque diremo prima di tutto che

[math] \Delta=b^2-4ac=1-4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2=1-2=-1[/math]

, e poi calcoleremo

[math] F\Big(-\frac{b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a} \Big) \Rightarrow F\Big(-\frac{1}{2/4}, \frac{1+1}{4/4} \Big) \Rightarrow F(-2, 2) [/math]

[math]V\Big(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} \Big) \Rightarrow V(-2, 1) [/math]

[math]\text{direttrice: } y=-\frac{1+\Delta}{4a}=0, \text{asse: } x=-\frac{b}{2a}=-2[/math]

Esempio 2: Trovare l’equazione della parabola avente fuoco

[math] F\Big(1, \frac{3}{4} \Big) [/math]

e direttrice
[math] x=-1 [/math]
.

Dal momento che la direttrice è una retta parallela all’asse delle ?, l’asse di simmetria della parabola cercata sarà parallelo all’asse delle ascisse; poiché inoltre ? non appartiene a ?, il problema ammette una soluzione non degenere. Ricordando che in questo caso risulta

[math]F\Big(\frac{1-\Delta}{4a}, -\frac{b}{2a}\Big) , d: x=-\frac{1+\Delta}{4a} [/math]

abbiamo subito tre equazioni da mettere a sistema:

[math] \begin{cases} \frac{1-\Delta}{4a}=1 \\ -\frac{b}{2a}=\frac{3}{4} \\ -\frac{1+\Delta}{4a}=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1-\Delta=4a \\ -2b=3a \\ 1+\Delta=4a \end{cases}[/math]

Dal confronto della prima e della terza ricaviamo immediatamente che

[math] a = \frac{1}{4} [/math]

[math] \Delta = 0 [/math]

. Quindi dalla seconda scriveremo che

[math] b=-\frac{3}{2}a=-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{3}{8} [/math]

, e siccome

[math] \Delta=b^2-4ac[/math]

, concluderemo che

[math] 0 = \Delta=b^2-4ac=\frac{9}{64}-4 \cdot \frac{1}{4} \cdot c \Rightarrow c= \frac{9}{64} [/math]

. L’equazione ricercata è allora

[math] \Pi: y=\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{64} [/math]

Esempio 3: Trovare l’equazione della parabola avente fuoco

[math] F(7,1) [/math]

e vertice
[math] V\Big(7, \frac{1}{2} \Big) [/math]
.

È noto che una delle proprietà dell’asse di simmetria di una parabola è di passare sia per il suo vertice che per il suo fuoco. Calcolando la retta ?? otterremo perciò facilmente che l’asse di simmetria è

[math] x=7 [/math]

, una retta parallela all’asse ?; ciò significa che la parabola avrà forma

[math] \Pi: y=ax^2+bx+c [/math]

, e non ci resta che trovarne i tre parametri. Mettiamo a sistema le informazioni note, come nel caso dell’esempio 2:

[math] \begin{cases}x_F=x_V=7 \\ y_F=1 \\ y_V=\frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\frac{b}{2a}=7 \\ \frac{1-\Delta}{4a} = 1 \\ -\frac{\Delta}{4a}=\frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=-14a \\ 1-\Delta=4a \\ \Delta=-2a \end{cases} [/math]

Dalla seconda e dalla terza equazione ricaviamo che

[math] a=\frac{1}{2}, \Delta=-1 [/math]

. Ciò sostituito nella prima equazione ci dice che ?=−7, e dall’equazione del

[math] \Delta [/math]

ricaviamo ?:

[math] \Delta = b^2-4ac \Rightarrow c=\frac{b^2-\Delta}{4a}=\frac{49+1}{2}=25 \Rightarrow \Pi: y=\frac{x^2}{2}-7x+25 [/math]

Esempio 4: Trovare una parabola che passa per tre punti fissati ?,?,?.

La risoluzione di questo problema non è tanto semplice come nel caso della circonferenza per tre punti, ma occorre invece distinguere più casi. In primo luogo, se ?,? e ? fossero allineati, certamente non vi sarebbe alcuna parabola che li attraversa tutti e tre: dunque prima di tutto bisogna calcolare l’equazione della retta ??, e sincerarsi che ? non le appartenga, poiché solo in questo caso il problema può avere soluzione.

Supponiamo ora che due dei punti dati, per fissare le idee diremo ? e ?, abbiano la stessa ascissa. Poiché una parabola con asse parallelo alle ordinate è una funzione di ?, di sicuro non apparterranno al suo grafico due punti verticalmente allineati come ? e ?; dunque se una parabola per ?, ? e ? esiste, in questo caso sarà con asse orizzontale. Similmente se due dei punti, diciamo ? e ?, condividono l’ordinata, non esisterà alcuna parabola con asse orizzontale che passa per ?, ? e ? contemporaneamente, ma potrebbe esisterne una con asse parallelo alle ordinate. Ne consegue che se i punti ?, ? e ? sono i vertici di un triangolo rettangolo con i cateti paralleli agli assi coordinati, il che significa che una coppia di punti ha la stessa ascissa e una coppia di punti ha la stessa ordinata, non esisteranno parabole per ?, ?, ? nè ad asse verticale, nè ad asse orizzontale; neanche in questo caso il problema ha soluzione.

Se però ?, ?, ? non sono allineati e hanno coordinate tutte distinte, esistono esattamente due diverse parabole che li attraversano tutti e tre: una ad asse verticale e una ad asse orizzontale.

Esempio 5: Trovare le equazioni della parabole passanti per ?(?,?), ?(−?,?) e ?(?,?).

Come discusso nell’esempio 4, per prima cosa controlleremo che i tre punti non giacciano tutti sulla stessa retta. Dal momento che la retta ?? ha equazione

[math] y = 3 [/math]

, certamente ? non le appartiene, e quindi i tre punti non sono allineati. Però è anche evidente che ? e ? hanno la stessa ordinata, e quindi di certo non esiste alcuna parabola ad asse orizzontale che sia soluzione del nostro problema: la parabola avrà forma

[math] \Pi: y=ax^2+bx+c [/math]

Per trovare i tre parametri ?,?,? non resta che scrivere e risolvere il sistema costituito dalle condizioni di appartenenza di ?,? e ? a (

[math] \Pi [/math]

[math] \begin{cases} 3=c \\ 3=a(-2)^2+b(-2)+c \\ 6=a+b+c \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c=3 \\ 4a-2b+c=3 \\ a+b=6-c \end{cases} \Rightarrow [/math]

[math] \Rightarrow \begin{cases} c=3 \\ 2a=b \\ a+b=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=2 \\ c=3 \end{cases} [/math]

Cosicché

[math] \Pi: y=x^2+2x+3 [/math]