_stan
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Definizioni

Lo scopo del calcolo combinatorio l'enumerazione della quantità di modi essenzialmente differenti in cui possibile raggruppare un prefissato numero di oggetti su di un prefissato numero di posti. Tali quantità vengono usualmente indicate rispettivamente con
[math] n [/math]
e
[math] k [/math]
.

Definizione 1: Permutazioni

Se il numero

[math] n [/math]
degli oggetti e il numero
[math] k [/math]
dei posti sono tali che
[math] n = k [/math]
e inoltre conta l'ordine con cui si dispongono gli oggetti, allora il raggruppamento detto permutazione.

Definizione 2: Disposizioni

Se il numero

[math] n [/math]
degli oggetti e il numero
[math] k [/math]
dei posti sono tali che
[math] n != k [/math]
e inoltre conta l'ordine con cui si dispongono gli oggetti, allora il raggruppamento detto disposizione.

Definizione 3: Combinazioni

Se il numero n degli oggetti e il numero k dei posti sono tali che

[math] n != k [/math]
e inoltre non conta l'ordine con cui si dispongono gli oggetti, allora il raggruppamento detto combinazione.

Osservazione 1: fondamentale distinguere di volta in volta a seconda della situazione quale degli enti di cui si discute sia da identificare come oggetto e quale come posto, poiché talvolta ci non elementare come sembrerebbe.

Osservazione 2: Ciascuno dei raggruppamenti presentati nelle Definizioni 1, 2 e 3 pu essere con o senza ripetizione di oggetti.

La ripetizione di oggetti si ha allorché alcuni degli oggetti da raggruppare sono uguali, e conseguentemente il numero di raggruppamenti essenzialmente diversi diminuisce; se gli oggetti sono invece tutti distinguibili l'uno dall'altro, il raggruppamento sarà considerato senza ripetizione di oggetti.

Osservazione 3: Il lettore potrebbe aver notato che dai casi delle Definizioni 1, 2 e 3 viene escluso quello in cui il numero

[math] n [/math]
degli oggetti e il numero
[math] k [/math]
dei posti sono tali che
[math] n = k [/math]
e inoltre non conta l'ordine con cui si dispongono gli oggetti. Ciò è chiaramente dovuto al fatto che se
[math] n = k [/math]
l'unico elemento di variabilità che distingue i raggruppamenti tra loro è l'ordine degli oggetti, e che se quest'ultimo non viene considerato i raggruppamenti sono tutti essenzialmente identici.

Esempi

Esempio 1: Si consideri il problema del calcolo del numero totale di anagrammi differenti, compresi quelli privi di senso, che si possono formare usando le lettere della parola CIAO. Di che tipo di raggruppamento si tratta? Valgono le ripetizioni oppure no?

Il problema può essere riformulato nel modo seguente:

Supponiamo di avere 4 oggetti tra loro differenti, che indicheremo con le lettere C, I, A ed O, e 4 posizioni numerate, indicate con i nomi prima lettera, seconda lettera... . Quanti modi differenti esistono di disporre i 4 oggetti sui 4 posti, in modo tale che ognuno di essi compaia una ed una sola volta?

Questa riformulazione equivalente ci porta subito ad alcune considerazioni:

  • [math] n = 4, k = 4 [/math]
    ; dunque si ha che
    [math] n = k [/math]
    .
  • Lordine degli oggetti conta; infatti qualora cos non fosse le parole CIAO e CAIO andrebbero considerate come identiche, mentre sono evidentemente anagrammi diversi.
  • Non vi sono ripetizioni; infatti se cos non fosse non sarebbe vero che gli oggetti compaiono tutti una ed una sola volta, cioè sono escluse le parole CCCA, CIAA...
Dunque il raggruppamento considerato una permutazione senza ripetizione di oggetti.

Esempio 2: Si consideri il problema del calcolo del numero totale di parole di 3 lettere, comprese quelle prive di senso, che si possono formare usando le lettere dell'alfabeto italiano. Di che tipo di raggruppamento si tratta? Valgono le ripetizioni oppure no?

Il problema sembra simile a quello dell'esempio precedente; in realtà la sua riformulazione seguente rende chiaro che si tratta di un tipo di raggruppamento del tutto diverso:

Supponiamo di avere 21 oggetti tra loro differenti, che indicheremo con le lettere A, B, C... Z, e 3 posizioni numerate, indicate con i nomi prima lettera, seconda lettera e terza lettera. Quanti modi differenti esistono di disporre i 21 oggetti sui 3 posti, potendo ciascun oggetto essere adoperato più volte?

Osserviamo così che essendo

[math] n = 21 [/math]
e
[math] k = 3 [/math]
risulta in questo caso
[math] n != k [/math]
; oltretutto ci sono ripetizioni, poiché una stessa parola di 3 lettere può avere pi lettere uguali come nel caso della parola ALA. Infine conta naturalmente l'ordine delle lettere, o le parole PIO e POI sarebbero considerate uguali. Concludiamo perciò che il raggruppamento una disposizione con ripetizione di oggetti.

Osservazione 4: La strategia di riformulare il problema in termini di oggetti, posti e numero di ripetizioni può sempre essere applicata nei problemi di questo tipo; essa serve a chiarire i ruoli degli enti presenti e a riconoscere le formule da adoperare per trovare la soluzione.

Altro materiale di supporto

Videolezione: esercizi di base sul calcolo combinatorio.