_stan
di _stan
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In questo appunto vengono descritte in modo dettagliato le disposizioni semplici e con ripetizione, vengono anche proposti degli esempi di applicazione delle disposizioni.

Formule

Definizione 1: Disposizioni
Se il numero
[math] n [/math]
degli oggetti e il numero
[math] k [/math]
dei posti sono tali che
[math] n!= k [/math]
e inoltre conta l'ordine con cui si dispongono gli oggetti, allora il raggruppamento è detto disposizione.

Formula 1: Numero di disposizioni di ? oggetti su ? posti senza ripetizioni
Supponiamo che gli

[math] n [/math]
oggetti da disporre siano tutti tra loro distinguibili.

Allora per dar luogo a una disposizione procederemo come segue:
  • Creiamo prima di tutto una permutazione di tutti e ? gli oggetti disponibili. Per fare ciò utilizziamo naturalmente quanto già noto sulle permutazioni;
  • Per definizione
    [math] k [/math]
    è minore di
    [math] n [/math]
    , o altrimenti dato che non ci sono ripetizioni alcuni dei posti dovrebbero per forza restare vuoti. Diciamo allora che gli oggetti interessanti per la nostra disposizione sono i primi
    [math] k [/math]
    della permutazione formata al punto 1;
  • Ne consegue che, scelti tali oggetti, i rimanenti
    [math] n - k [/math]
    si possono organizzare in qualsiasi ordine dal momento che il loro raggruppamento è irrilevante ai fini della disposizione. Dunque occorre considerare come uguali tra loro tutti quei raggruppamenti che si ottengono da quello prefissato, permutando in modo qualsiasi gli oggetti non selezionati per la disposizione.
Per concludere adesso quante disposizioni ci sono in tutto dovremo solo dividere il numero di permutazioni di ? oggetti per il numero di permutazioni di
[math] n - k [/math]
oggetti:

[math]D_{n,k} = \frac{P_n}{P_{n-k}} = \frac{n!}{(n-k)!}[/math]

Osservazione 1: Va da sè che dal momento che il fattoriale al numeratore può essere scritto come

[math]n! = (n-k)! (n-k+1)(n-k+2) \ldots (n-1) n[/math]

per forza di cose il numero di disposizioni di

[math] n [/math]
oggetti su
[math] k [/math]
posti è naturale, proprio come ci si aspetterebbe logicamente.

Formula 2: Numero di disposizioni di

[math] n [/math]
oggetti su
[math] k [/math]
posti con ripetizioni.

Per trovare questo numero di disposizioni ragioneremo in maniera un po diversa, senza ricorrere a permutazioni e fattoriali, secondo il seguente procedimento:

  • Scegliamo l'oggetto tra gli
    [math] n [/math]
    dati che occuperà il primo posto nella disposizione; la scelta può essere fatta in esattamente ? modi diversi, poichè supponiamo che gli oggetti siano tutti distinguibili;
  • Proprio come si fa per le permutazioni, scegliamo adesso il secondo oggetto; dal momento che ogni oggetto può essere per ripetuto un numero arbitrario di volte, in questo caso il numero di scelte disponibili è ancora
    [math] n[/math]
    ;
  • Ripetiamo detto procedimento per ? volte, finchè i posti non terminano. Osserviamo che in questo caso non è necessario che sia (
    [math]k \le n[/math]
    ).
Seguendo questo ragionamento otteniamo la seguente formula
[math]D_{n,k}^r = \underbrace{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{k volte} = n^k[/math]

Osservazione 2: Nel caso delle permutazioni si è osservato che consentire la ripetizione di oggetti costituiva un limite del tutto equivalente al considerare che alcuni oggetti fossero tra loro indistinguibili, e di conseguenza il numero di permutazioni con ripetizioni risultava minore di quello di permutazioni senza ripetizioni.
Per le disposizioni avviene l'esatto contrario: poter ripetere gli oggetti è in questo caso una possibilità per più ordinamenti, e quindi si ha sempre che

[math]D_{n,k} \le D^r_{n,k} \leftrightarrow \frac{n!}{(n-k)!} \le n^k \mbox{, } ,,,, \forall n, k: 0 \le k \le n[/math]

La formula a destra è comunque facilmente dimostrabile anche per via algebrica.

Osservazione 3: Se nella formula precedente abbiamo

[math] n = k [/math]
, essa si riduce a:
[math]D_{n,n} = n!/0! = n! = P_n[/math]

Ciò non è sorprendente, in quanto una disposizione senza ripetizioni in cui il numero degli oggetti è pari a quello dei posti è essenzialmente una permutazione.
Per ulteriori approfondimenti sul fattoriale e sulle sue proprietà vedi anche qua

Esempi

Esempio 1: Cinque amici partecipano a una gara di atletica leggera. In quanti modi diversi è possibile che essi occupino il podio alla fine della competizione?

Si tratta di effettuare un raggruppamento di

[math] n = 5 [/math]
oggetti (gli amici) su
[math] k = 3 [/math]
posti (i gradini del podio), senza ripetizioni (ognuno degli amici occupa al più un solo gradino del podio) e in cui conta l'ordine (non è la stessa cosa arrivare primi, secondi o terzi). Occorre perciò adoperare la formula precedentemente riportata:

[math]D_{5,3} = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60[/math]

Esempio 2: Si calcoli il numero di sottoinsiemi distinti di un insieme di 8 elementi.

Questo esercizio a prima vista non sembra di calcolo combinatorio, e si potrebbe pensare che si possa risolvere semplicemente elencando i sottoinsiemi e contandoli; ciò è vero in linea di principio, ma non si può fare perché il numero di sottoinsiemi è molto più grande di quanto si sarebbe portati a credere.

Consideriamo, stranamente, gli 8 elementi dell'insieme come i posti, e come oggetti da raggruppare gli elementi dell'insieme {?,?}, che stanno per vero e falso: abbiamo in questo caso

[math] n = 2, k = 8 [/math]
. Effettuiamo una disposizione con ripetizione con gli oggetti e i posti dati: alla fine avremo che a ciascuno degli 8 elementi dell'insieme sarà stato assegnato o un ? o un ?; interpreteremo ciò dicendo che gli elementi cui è stato associato ? appartengono al sottoinsieme, e quelli cui è stato associato ? no. Effettuando tutte le disposizioni con ripetizioni possibili, avremo enumerato tutti i sottoinsiemi. Adoperando la formula precedentemente riportata, essi risultano dunque essere:
[math]D_{2,8}^r = 2^8 = 256[/math]

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi e sulle loro proprietà vedi anche qua

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