Definizione di continuità

Definizioni di funzione continua

Definizione di funzione continua in un punto secondo Weierstrass

Sia \( f(x) \) una funzione di dominio \( D \subset \mathbb{R} \), e sia \( c \in D \). Nel caso in cui \( c \) è un punto di accumulazione di \( D \), diremo che la funzione \( f(x) \) è continua in \( c \) qualora risulti

\[ \begin{equation}\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \label{eq1}\end{equation}\]

Se \( c \) è un punto isolato di \( D \), diremo che \( f(x) \) è continua in \( c \), senza ulteriori richieste sulla funzione.

Definizione di funzione discontinua in un punto

Se una funzione \( f(x) \) non è continua in \( c \), allora essa viene detta discontinua in \( c \).

Definizione di funzione continua

Se una funzione \( f(x) \) è continua \( \forall c \in D \), allora la si definisce continua.

Definizione di funzione continua in un punto secondo Cauchy

Sia data una funzione \( f(x) \) di dominio \( D \), e sia \( c \) un punto di accumulazione per \( D \) (non deve necessariamente risultare \( c \in D \)). Diremo allora che \( f(x) \) è continua in \( c \) se per ogni \( \epsilon \gt 0 \)  esiste un \( \delta \gt 0 \) tale che, se \( |x -c| \lt \delta \), allora \( |f(x) – f(c)| \lt \epsilon \). In formule,

\[ \begin{equation}\forall\epsilon\gt 0\ \ \exists\delta\gt 0: |x-c| \lt \delta \Rightarrow |f(x) – f(c)| \lt \epsilon \label{eq2}\end{equation} \]

 

Definizione di funzione continua in un punto secondo Cauchy

 

Osservazione

Affinché la relazione \(\eqref{eq1}\) sia verificata è necessario che la funzione \( f \) assuma un valore in \( x = c \), ed è per questo che abbiamo richiesto \( c \in D \). Inoltre, si deve poter considerare il limite di \( f(x) \) per \( x \rightarrow c \), e quindi deve esistere una successione di punti di \( D \) che tende a \( c \): ciò è equivalente a richiedere che \( c \) sia un punto di accumulazione per \( D \). Infine, nella \(\eqref{eq1}\) si richiede l’uguaglianza tra il valore trovato come limite e quello della funzione in \( c \), fatto questo non scontato.

Osservazione

La definizione di Cauchy, che appare più difficile da capire di quella di Weierstrass, è stata creata molto tempo prima ed è in realtà ad essa del tutto equivalente. La \(\eqref{eq2}\) afferma, in termini più chiari, che una funzione è continua se, e soltanto se, comunque si scelga una distanza \(\epsilon\) è possibile trovare una distanza \(\delta\) tale che se \( x \) non dista da \( c \) più di \( \delta \) allora \( f(x) \) non dista da \( f(c) \) più di \( \epsilon \). Ciò è lo stesso che dire che punti “vicini” hanno immagini “vicine”; quanto vicino sia considerabile abbastanza è determinato dai valori di \(\epsilon\) e \( \delta \).

 

Esempi di funzioni continue e non continue

Esempio 1: Parabola.

Il grafico rappresentato nell’immagine seguente è quello di un ramo della parabola di equazione \(y = x^2\) , il cui dominio è \(D = \mathbb{R}\) e che è continua in ogni punto. Verifichiamo ad esempio che essa è continua nel punto \( c = 2 \):

\[\lim_{x\rightarrow 2} f(x) = \lim_{x\rightarrow 2} x^2 = 4 = 2^2 = f(2) \]

 

Funzioni continue: parabola y = x^2

 

Esempio 2: Funzione polinomiale.

La proprietà vista nell’esempio precedente non è esclusiva della parabola. Tutte le funzioni polinomiali, cioè esprimibili nella forma  \( y = p(x) \) dove \( p(x) \) è un polinomio nell’indeterminata \( x \), sono definite su tutto \( \mathbb{R} \) e ivi continue. In particolare abbiamo che tutte le funzioni costanti, ovvero quelle del tipo \( y = k, k \in \mathbb{R} \), ed anche tutte le rette sono funzioni continue.

Esempio 3: Funzione discontinua con limiti infiniti.

Il prossimo grafico rappresenta la funzione \( y = 1/x \) , cioè un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Il suo insieme di definizione è \( D = \mathbb{R} – \{0\} \), quindi per forza di cose essa è discontinua nel punto \( c = 0 \). D’altra parte, si ha che

\[ \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty \text{      ,       } \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty \]

cosicché la \(\eqref{eq1}\) non è verificata in due modi: \( c \) non appartiene al dominio e non esiste il limite per \( x \rightarrow c \), visto che i limiti sinistro e destro non coincidono. In tutti i punti che appartengono a \( D \) la funzione è invece continua.
Se esaminiamo la validità della definizione di continuità in un punto secondo Cauchy con \( c = 0 \), osserviamo che indipendentemente da quanto stretto attorno allo 0 si scelga un intervallo, esso conterrà sempre punti le cui immagini sono distanti a piacere. Quindi l’iperbole equilatera è discontinua in 0 anche secondo Cauchy.

 

Iperbole equialtera: funzione discontnua con limiti infiniti

 

Esempio 4: Funzione discontinua con limiti finiti.

Nell’immagine che segue è rappresentato il grafico della funzione \( y = \frac{x\cos x}{|x|} \). Si prova con facilità che la funzione in esame non è continua in \( c = 0 \), dal momento che

\[ \lim_{x\rightarrow 0^{-}} \frac{x\cos x}{|x|} = -1 \text{      ,       } \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{x\cos x}{|x|} = +1 \]

e dunque non esiste il limite richiesto dalla \(\eqref{eq1}\), perché come nell’esempio precedente i limiti sinistro e destro non coincidono, anche se in questo caso essi sono finiti.

 

Funzione discontinua con limiti finiti

 

Osservazione

Dagli esempi precedenti emerge un’osservazione che può spesso aiutare nello studio delle funzioni continue, e cioè che una funzione è continua se e solo se il suo grafico può essere disegnato senza mai alzare la matita dal foglio; si tenga però conto che questo modo di vedere la definizione di continuità non è rigoroso e può trarre in inganno.

 

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