Teorema di Darboux o dei valori intermedi

Enunciato del teorema di Darboux o dei valori intermedi

Enunciato: Sia ?(?) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [?,?]. Allora ?(?) assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo nell’intervallo [?,?].

Osservazione 1: Cerchiamo di comprendere in termini più semplici quanto affermato dal teorema di Darboux o dei valori intermedi. Supponiamo di avere una linea curva tracciata senza mai alzare la matita dal foglio; questa avrà naturalmente un punto più in basso e un punto più in alto di tutti. Il teorema sostiene che è impossibile che la nostra curva colleghi questi due quote differenti senza passare per tutte le quote intermedie, il che è un fatto di cui risulta piuttosto semplice convincersi.

Dimostrazione del teorema di Darboux o dei valori intermedi

Dimostrazione: In primo luogo notiamo che, essendo la funzione ?(?) continua in [?,?], il quale a sua volta è un intervallo chiuso e limitato, il teorema di Weierstrass è applicabile. Ciò significa che ?(?) assume su [?,?] tanto un minimo ? quanto un massimo ?, ed è ovvio che ? ≤ ?. Sia allora ? un qualsiasi numero reale appartenente all’intervallo [?,?] sulle ordinate, cioè ? ≤ ? ≤ ?: vogliamo far vedere che esiste almeno un \( \tilde{x} \in [a, b] \) tale che \( f(\tilde{x})=n \).

 

Teorema di Darboux - Funzioni continue f(x) e g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Consideriamo a questo scopo la funzione ?(?)=?(?)−?. Poiché essa è una differenza di funzioni continue, ?(?) è essa stessa continua; inoltre essa è certamente ancora definita sull’intervallo chiuso e limitato [?,?]. Queste due affermazioni, per altro di assai semplice dimostrazione, sono rese evidenti dal fatto che il grafico di ?(?) coincide con quello di ?(?), ma è tracciato più in basso di esso di una quantità ?. Nell’immagine, il grafico di ?(?) è tracciato in blu, mentre quello di ?(?) appare in viola. Poichè per ?(?) valgono tutte le ipotesi del teorema di Bolzano o degli zeri, esisterà certamente un ?̃ ∈ [?,?] tale che

\( g(\tilde{x}) = 0 \Rightarrow f(\tilde{x}) – n = 0 \Rightarrow f(\tilde{x}) = n \)

Ciò prova, come volevamo, l’esistenza di \( \tilde{x} \in [a, b] \) tale che \(f(\tilde{x}) = n \). Visto ora che ? era un numero reale qualunque compreso tra ? e ?, il risultato per esso ottenuto vale per tutti i valori appartenenti a [?,?]. Così abbiamo che tutti i valori intermedi tra il minimo e il massimo della funzione sono assunti almeno una volta, il quale è giusto ciò che si voleva provare. ∎

Osservazione 2: Come si è visto nel corso della dimostrazione, l’ipotesi fatta sull’intervallo [?,?] di chiusura e limitatezza serve al fine di garantire l’applicabilità del teorema degli zeri e di quello di Weirstrass. In effetti, se in particolare il secondo non valesse, allora non si potrebbe neppure dire con certezza che la funzione assume minimo e massimo.

Osservazione 3: L’ipotesi di continuità della ?(?) interviene nella dimostrazione allorché occorre implicare la continuità della funzione ?(?), a sua volta necessaria all’applicazione finale del teorema degli zeri.

Osservazione 4: Se tutte le ipotesi del teorema di Darboux sono rispettate, allora la ?(?) ammette assume effettivamente almeno una volta tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo nell’intervallo [?,?]. Se invece qualche ipotesi non è verificata, nulla si può concludere riguardo la funzione; in questo caso ?(?) potrebbe sia non assumere, sia assumere una o più volte ciascuno dei valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo. Può anche darsi il caso che ?(?) non sia neppure tale da ammettere minimo o massimo, non valendo in questo caso il teorema di Weierstrass: si confronti l’osservazione 2.

Esempi di applicazione del teorema di Darboux o dei valori intermedi

Esempio 1: funzione continua in un intervallo chiuso e limitato.

Consideriamo la funzione ?(?)=ln? nell’intervallo \( \Big[\frac{1}{e^2}, e \Big] \), il cui grafico è rappresentato nella figura sottostante:

 

Funzione logaritmo di x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il logaritmo naturale non è una funzione continua, poiché ha una discontinuità di seconda specie nel punto ?=0; dal momento però che \( \frac{1}{e^2} \gt 0 \), tale discontinuità è esclusa dal nostro intervallo, nel quale il logaritmo risulta perciò una funzione continua. Essendo poi \( \Big[\frac{1}{e^2}, e \Big] \) un intervallo chiuso e limitato, possiamo applicare il teorema di Weierstrass e così affermare che esistono almeno un minimo e un massimo per ?(?) nell’intervallo dato. Siccome il logaritmo è una funzione crescente, il minimo e il massimo saranno assunti in corrispondenza dell’estremo sinistro e destro dell’intervallo considerato, e perciò sarà

\( m = f\Big(\frac{1}{e^2}\Big) = \ln\Big(\frac{1}{e^2}\Big) = -2 \,\,\,\, \mbox{e} \,\,\,\, M = f(e) = \ln e = 1 \)

Tutte le ipotesi del teorema di Darboux sono, come già visto, verificate. Controlliamo allora che valga anche il suo risultato, mostrando che per ogni ? ∈ (−2,1) esiste un \( \tilde{x} \in \Big[\frac{1}{e^2}, e \Big] \) tale che \( f(\tilde{x}) = n \). In questo caso ?̃ può addirittura essere calcolato, risultando

\( n = f(\tilde{x}) = \ln \tilde{x} \Rightarrow \tilde{x} = e^n \)

Resta da controllare che \( \tilde{x} \in \Big[\frac{1}{e^2}, e\Big] \); d’altra parte la crescenza dell’esponenziale assicura questo risultato qualora ? ∈ (−2,1), che è proprio il caso in cui ci siamo posti. Il teorema di Darboux è così verificato.

Esempio 2: funzione discontinua.

Facciamo ora il caso della funzione \( f(x) = \frac{x}{|x|} + \sin x \), nell’intervallo \( \Big[−\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4} \Big] \). L’immagine seguente rappresenta in grigio il grafico di tutta la funzione, ed evidenzia in blu la parte compresa nell’intervallo che abbiamo deciso di considerare:

 

Teorema del valore medio: funzione x/|x| + sin(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Benché l’intervallo\( \Big[−\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4} \Big] \) sia naturalmente chiuso e limitato, il teorema di Darboux non è applicabile. Infatti se calcoliamo i limiti destro e sinistro della funzione in 0 scopriamo che essi non sono uguali

\[ \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \Big(\frac{x}{|x|} + \sin x\Big) = -1 + 0 = -1 \]

\[ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\Big(\frac{x}{|x|} + \sin x\Big) = 1 + 0 = 1 \]

e per giunta sono anche distinti dal valore della funzione in 0, essendo ?(0)=0. Dunque ?(?) ha una discontinuità di prima specie per ?=0, e ciò non le consente di verificare le ipotesi del teorema dei valori intermedi. In verità alla funzione non è applicabile neppure il teorema di Weierstrass, ma nonostante ciò essa possiede un minimo e un massimo. Poiché infatti sia il seno sia il segno di ? sono funzioni limitate tra i valori −1 e 1, i valori minimo e massimo teoricamente raggiungibili dalla nostra ?(?) sono −2 e 2. Visto che

\( f\Big(\frac{\pi}{2}\Big) = \frac{\frac{\pi}{2}}{\Big|\frac{\pi}{2}\Big|} + \sin \frac{\pi}{2} = 1 + 1 = 2 \)

\( f\Big(-\frac{\pi}{2}\Big) = \frac{\frac{-\pi}{2}}{\Big|\frac{-\pi}{2}\Big|} + \sin \Big(\frac{-\pi}{2}\Big) = -1 – 1 = -2 \)

allora ?(?) ha minimo e massimo nell’intervallo dato. In virtù dell’osservazione 4, non ci aspettiamo che l’inapplicabilità del teorema di Darboux implichi che qualche valore ? ∈ (−2,2) necessariamente non sia assunto dalla funzione, ma in questo caso è proprio così. Infatti

\( f\Big(-\frac{5\pi}{4}\Big) = \frac{\frac{-5\pi}{4}}{\Big|\frac{-5\pi}{4}\Big|} + \sin \Big(-\frac{5\pi}{4}\Big) = -1 +\frac{\sqrt{2}}{2} \)

 

\( f\Big(\frac{5\pi}{4}\Big) = \frac{\frac{5\pi}{4}}{\Big|\frac{5\pi}{4}\Big|} + \sin \Big(\frac{5\pi}{4}\Big) = 1 -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

 

cosicché se \( n \in \Big(\frac{\sqrt{2}}{2} – 1, 1 – \frac{\sqrt{2}}{2}\Big) \)  e \( n \ne 0 \) non esiste alcun \( \tilde{x} \) tale che \( f(\tilde{x}) = n \).

Esempio 3: funzione discontinua.

Consideriamo nuovamente la funzione dell’esempio 2, ma adesso l’intervallo interessante sia \( \Big(−\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\Big)\); il prossimo grafico rappresenta questa nuova situazione.

 

Funzione x/|x| + sin(x); intervallo (-3π/2; 3π/2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dal momento che \( 0 \in \Big(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Big) \), l’intervallo contiene l’unica discontinuità di prima specie della ?(?) e per questo essa è discontinua. Per giunta l’intervallo dato è aperto sia a destra che a sinistra, quindi nessuno dei teoremi sulla continuità fin qui studiati risulta applicabile. In particolare non si può utilizzare il teorema di Weierstrass, ma siccome \(\pm\frac{\pi}{2} \in (-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Big) \) la funzione, come prima, ammette ancora −2 e 2 come minimo e massimo. Se calcoliamo

\[ \lim_{x\rightarrow \pi\frac{3\pi}{2}} f(x) = \lim_{x\rightarrow \pi\frac{3\pi}{2}} \Big(\frac{x}{|x|} + \sin x \Big) = \pm 1 \mp 1 = 0 \]

scopriamo però che la ?(?) assume in realtà tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo, benchè il teorema di Darboux risulti non applicabile. Infatti per \( \tilde{x} \in \Big(0, \frac{3\pi}{2}\Big) \) abbiamo \(f(\tilde{x}) \in (0,2]\), per \( \tilde{x} \in \Big(-\frac{3\pi}{2},0\Big)\) abbiamo \(f(\tilde{x}) \in [-2,0) \) e infine se \( \tilde{x} = 0 \) si ha ?(?̃)=0. Ciò prova che per un’opportuna scelta di \( \tilde{x} \in \Big(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Big) \) tutti i valori di [−2,2] vengono raggiunti da \( f(\tilde{x}) \), cioè lo stesso risultato che avremmo potuto ottenere dal teorema di Darboux. Questa conclusione riafferma ancora la veridicità dell’osservazione 4.

 

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