Enunciato del teorema di Darboux o dei valori intermedi
Enunciato: Sia ?(?) una
funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [?,?]. Allora ?(?) assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo nellintervallo [?,?].
Osservazione 1: Cerchiamo di comprendere in termini pi semplici quanto affermato dal teorema di Darboux o dei valori intermedi. Supponiamo di avere una linea curva tracciata senza mai alzare la matita dal foglio; questa avrà naturalmente un punto più in basso e un punto più in alto di tutti.
Il teorema sostiene che impossibile che la nostra curva colleghi questi due quote differenti senza passare per tutte le quote intermedie, il che un fatto di cui risulta piuttosto semplice convincersi.
Dimostrazione del teorema di Darboux o dei valori intermedi
Dimostrazione: in primo luogo notiamo che, essendo la funzione ?(?) continua in [?,?], il quale a sua volta un intervallo chiuso e limitato, il
teorema di Weierstrass applicabile. Ci significa che ?(?) assume su [?,?] tanto un minimo ? quanto un massimo ?, ed ovvio che ? ? ?. Sia allora ? un qualsiasi numero reale appartenente all'intervallo [?,?] sulle ordinate, cioè ? ? ? ? ?: vogliamo far vedere che esiste almeno un
[math] \displaystyle \tilde{x} \in [a, b][/math]
tale che
[math] \displaystyle f( \tilde{x})=n[/math]
.
Consideriamo a questo scopo la funzione ?(?)=?(?)??. Poiché essa è una differenza di funzioni continue, ?(?) è essa stessa continua; inoltre essa è certamente ancora definita sull'intervallo chiuso e limitato [?,?]. Queste due affermazioni, per altro di assai semplice dimostrazione, sono rese evidenti dal fatto che il grafico di ?(?) coincide con quello di ?(?), ma tracciato più in basso di esso di una quantità. Nell'immagine, il grafico di ?(?) è tracciato in blu, mentre quello di ?(?) appare in viola. Poiché per ?(?) valgono tutte le ipotesi del teorema di Bolzano o degli zeri, esisterà certamente un ?? ? [?,?] tale che
[math] \displaystyle g( \tilde{x}) = 0 \rightarrow f( \tilde{x}) - n = 0 \rightarrow f( \tilde{x}) = n[/math]
Ci prova, come volevamo, l'esistenza di
[math] \displaystyle \tilde{x} \in [a, b][/math]
tale che
[math] f( \tilde{x}) = n[/math]
. Visto ora che ? era un numero reale qualunque compreso tra ? e ?, il risultato per esso ottenuto vale per tutti i valori appartenenti a [?,?]. Così abbiamo che tutti i valori intermedi tra il minimo e il massimo della funzione sono assunti almeno una volta, il quale è giusto ci che si voleva provare. ?
Osservazione 2: Come si visto nel corso della dimostrazione, l'ipotesi fatta sull'intervallo [?,?] di chiusura e limitatezza serve al fine di garantire l'applicabilità del teorema degli zeri e di quello di Weirstrass. In effetti, se in particolare il secondo non valesse, allora non si potrebbe neppure dire con certezza che la funzione assume minimo e massimo.
Osservazione 3: L'ipotesi di continuità della ?(?) interviene nella dimostrazione allorché occorre implicare la continuità della funzione ?(?), a sua volta necessaria all'applicazione finale del teorema degli zeri.
Osservazione 4: Se tutte le ipotesi del teorema di Darboux sono rispettate, allora la ?(?) ammette assume effettivamente almeno una volta tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo nell'intervallo [?,?]. Se invece qualche ipotesi non è verificata, nulla si può concludere riguardo la funzione; in questo caso ?(?) potrebbe sia non assumere, sia assumere una o più volte ciascuno dei valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo. Può anche darsi il caso che ?(?) non sia neppure tale da ammettere minimo o massimo, non valendo in questo caso il teorema di Weierstrass: si confronti
l'osservazione 2.
Esempi di applicazione del teorema di Darboux o dei valori intermedi
Esempio 1: funzione continua in un intervallo chiuso e limitato.
Consideriamo la funzione ?(?)=ln? nell'intervallo
[math] \displaystyle\Big[\frac{1}{e^2}, e \Big][/math]
, il cui grafico rappresentato nella figura sottostante:
Il logaritmo naturale non è una funzione continua, poiché ha una discontinuità di seconda specie nel punto ?=0; dal momento per che
[math] \displaystyle \frac{1}{e^2} \gt 0[/math]
, tale discontinuità è esclusa dal nostro intervallo, nel quale il logaritmo risulta perciò una funzione continua. Essendo poi
[math] \displaystyle \Big[\frac{1}{e^2}, e \Big][/math]
un intervallo chiuso e limitato, possiamo applicare il teorema di Weierstrass e così affermare che esistono almeno un minimo e un massimo per ?(?) nell'intervallo dato. Siccome il logaritmo è una funzione crescente, il minimo e il massimo saranno assunti in corrispondenza dellìestremo sinistro e destro dell'intervallo considerato, e perciò sarà
[math] \displaystyle m = f\Big(\frac{1}{e^2}\Big) = \ln\Big(\frac{1}{e^2}\Big) = -2 \, \, \, \, \mbox{e} \, \, \, \, M = f(e) = \ln e = 1[/math]
Tutte le ipotesi del teorema di Darboux sono, come già visto, verificate. Controlliamo allora che valga anche il suo risultato, mostrando che per ogni ? ? (?2,1) esiste un
[math] \displaystyle \tilde{x} \in \Big[\frac{1}{e^2}, \ne \Big][/math]
tale che
[math] \displaystyle f( \tilde{x}) = n[/math]
. In questo caso ?? può addirittura essere calcolato, risultando
[math] \displaystyle n = f( \tilde{x}) = \ln \tilde{x} \rightarrow \tilde{x} = e^n[/math]
Resta da controllare che
[math] \displaystyle \tilde{x} \in \Big[\frac{1}{e^2}, e\Big][/math]
; d'altra parte la crescenza dell'esponenziale assicura questo risultato qualora ? ? (?2,1), che è proprio il caso in cui ci siamo posti. Il teorema di Darboux è così verificato.
Esempio 2: funzione discontinua.
Facciamo ora il caso della funzione
[math] \displaystyle f(x) = \frac{x}{|x|} + \sin x[/math]
, nell'intervallo
[math] \displaystyle \Big[?\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4} \Big][/math]
. L'immagine seguente rappresenta in grigio il grafico di tutta la funzione, ed evidenzia in blu la parte compresa nell'intervallo che abbiamo deciso di considerare:
Benché l'intervallo
[math] \displaystyle \Big[?\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4} \Big][/math]
sia naturalmente chiuso e limitato, il teorema di Darboux non è applicabile. Infatti se calcoliamo i limiti destro e sinistro della funzione in 0 scopriamo che essi non sono uguali
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \Big(\frac{x}{|x|} + \sin x\Big) = -1 + 0 = -1 [/math]
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\Big(\frac{x}{|x|} + \sin x\Big) = 1 + 0 = 1 [/math]
e per giunta sono anche distinti dal valore della funzione in 0, essendo ?(0)=0. Dunque ?(?) ha una discontinuità di prima specie per ?=0, e ciò non le consente di verificare le ipotesi del teorema dei valori intermedi. In verità alla funzione non è applicabile neppure il teorema di Weierstrass, ma nonostante ciò essa possiede un minimo e un massimo. Poiché infatti sia il seno sia il segno di ? sono funzioni limitate tra i valori ?1 e 1, i valori minimo e massimo teoricamente raggiungibili dalla nostra ?(?) sono ?2 e 2. Visto che
[math] \displaystyle f\Big(\frac{\pi}{2}\Big) = \frac{\frac{\pi}{2}}{\Big|\frac{\pi}{2}\Big|} + \sin \frac{\pi}{2} = 1 + 1 = 2[/math]
[math] \displaystyle f\Big(-\frac{\pi}{2}\Big) = \frac{\frac{-\pi}{2}}{\Big|\frac{-\pi}{2}\Big|} + \sin \Big(\frac{-\pi}{2}\Big) = -1 - 1 = -2[/math]
allora ?(?) ha minimo e massimo nell'intervallo dato. In virtù dell'osservazione 4, non ci aspettiamo che l'inapplicabilità del teorema di Darboux implichi che qualche valore ? ? (?2,2) necessariamente non sia assunto dalla funzione, ma in questo caso è proprio così. Infatti
[math] \displaystyle f\Big(-\frac{5\pi}{4}\Big) = \frac{\frac{-5\pi}{4}}{\Big|\frac{-5\pi}{4}\Big|} + \sin \Big(-\frac{5\pi}{4}\Big) = -1 +\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]
[math] \displaystyle f\Big(\frac{5\pi}{4}\Big) = \frac{\frac{5\pi}{4}}{\Big|\frac{5\pi}{4}\Big|} + \sin \Big(\frac{5\pi}{4}\Big) = 1 -\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]
cosicché se
[math] \displaystyle n \in \Big(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\Big)[/math]
e
[math] \displaystyle n \ne 0[/math]
non esiste alcun
[math] \displaystyle \tilde{x}[/math]
tale che
[math] \displaystyle f( \tilde{x}) = n[/math]
.
Esempio 3: funzione discontinua.
Consideriamo nuovamente la funzione dell'esempio 2, ma adesso l'intervallo interessante sia
[math] \displaystyle \Big(?\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\Big) [/math]
; il prossimo grafico rappresenta questa nuova situazione.
Dal momento che
[math] \displaystyle 0 \in \Big(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Big)[/math]
, l'intervallo contiene l'unica discontinuità di prima specie della ?(?) e per questo essa è discontinua. Per giunta l'intervallo dato è aperto sia a destra che a sinistra, quindi nessuno dei teoremi sulla continuità fin qui studiati risulta applicabile. In particolare non si può utilizzare il teorema di Weierstrass, ma siccome
[math] \pm\frac{\pi}{2} \in (-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Big)[/math]
la funzione, come prima, ammette ancora ?2 e 2 come minimo e massimo. Se calcoliamo
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi\frac{3\pi}{2}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \pi\frac{3\pi}{2}} \Big(\frac{x}{|x|} + \sin x \Big) = \pm 1 \mp 1 = 0 [/math]
scopriamo per che la ?(?) assume in realtà tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo, benché il teorema di Darboux risulti non applicabile. Infatti per
[math] \displaystyle \tilde{x} \in \Big(0, \frac{3\pi}{2}\Big)[/math]
abbiamo
[math] f( \tilde{x}) \in (0,2] [/math]
, per
[math] \displaystyle \tilde{x} \in \Big(-\frac{3\pi}{2},0\Big)[/math]
abbiamo
[math] f( \tilde{x}) \in [-2,0)[/math]
e infine se
[math] \displaystyle \tilde{x} = 0[/math]
si ha?(??)=0. Ci prova che per un'opportuna scelta di
[math] \displaystyle \tilde{x} \in \Big(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Big)[/math]
tutti i valori di [?2,2] vengono raggiunti da
[math] \displaystyle f( \tilde{x})[/math]
, cioè lo stesso risultato che avremmo potuto ottenere dal teorema di Darboux. Questa conclusione riafferma ancora la veridicità dell'osservazione 4.
