Teorema di Weierstrass

Enunciato del teorema di Weierstrass

Enunciato: Sia \( f(x) \) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato \( [?,?] \). Allora \( f(x) \) assume un valore minimo e un valore massimo nell’intervallo \( [?,?] \).

 

Teorema di Weierstrass: funzione continua in un intervallo chiuso e limitato

Osservazione 1: Prodursi un’immagine mentale del teorema di Weierstrass è molto facile. Si consideri un intervallo \( [?,?] \), qualsiasi sull’asse delle \( x \), e si disegni una linea curva senza mai alzare la matita dal foglio che sia il grafico di una funzione in detto intervallo. Quale che sia la curva che avremo disegnato, essa avrà un punto che si trova più in alto di tutti gli altri e uno che si trova più in basso: questi sono il minimo e il massimo di cui parla il teorema.

Dimostrazione del teorema di Weierstrass

Dimostrazione: In questa dimostrazione faremo vedere che una funzione \( f(x) \) avente le caratteristiche richieste dall’enunciato possiede un valore massimo; per quanto riguarda l’esistenza di un valore minimo, si procede in maniera similare.

Sia dunque \( f(x) \) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato \( [?,?] \), ma per assurdo supponiamo che essa non assuma nessun valore massimo: faremo vedere che questo ci porta a conclusioni contraddittorie, il che ci consentirà di dire che un valore massimo deve invece necessariamente esistere.

Sia \( ? \) l’insieme dei valori assunti dalla funzione \( f(x) \) sull’intervallo \( [?,?] \), e sia \( S \) l’estremo superiore, eventualmente infinito, di \( S \). Per le proprietà dell’estremo superiore, possiamo costruire una successione \( x_n \) di punti appartenenti all’intervallo \( [?,?] \) tale che

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} f(x_n) = s \]

 

Grafico funzione continua in un intervallo chiuso e limitato

 

Se dividiamo l’intervallo \( [?,?] \) in due parti uguali, dal momento che la successione \( x_n \) ha infiniti punti, in una delle due parti risultanti ci saranno certamente infiniti punti di \( x_n \); sia \( z_1 \) uno qualsiasi di questi punti. Se dividiamo in due parti uguali la parte di \( [?,?] \) cui appartiene \( z_1 \), dal momento che essa contiene ancora infiniti punti della successione \( x_n \), una delle due nuove parti conterrà sicuramente a sua volta infiniti punti di \( x_n \); sia \( z_2 \) uno qualsiasi di questi punti. Ripetendo questo procedimento infinite volte, costruiamo una successione \( z_n \) estratta dalla \( x_n \) con la proprietà che la distanza tra due \( z_n \) consecutivi tende a 0 all’aumentare di \( n \). Ciò prova che la successione \( z_n \) converge a un punto \( \tilde{x} \) dell’intervallo \( [?,?] \), poiché detto intervallo è chiuso.

 

Teorema di Weierstrass: suddivisione intervallo

Calcoliamo adesso \( f(\tilde{x}) \):

\[ f(\tilde{x}) = f\Big(\lim_{n \rightarrow +\infty} z_n \Big) = \lim_{n \rightarrow +\infty} f(z_n) = \lim_{n \rightarrow +\infty} f(x_n) = s \]

La seconda uguaglianza vale perchè la funzione \( f(x) \) è per ipotesi continua, mentre la terza perché se la successione \( f(x_n) \) tende a \( s \) allora certamente anche la \( f(z_n) \), da essa estratta, tende a \( S \). Con questo abbiamo provato che esiste un punto \( \tilde{x} \in [?,?] \) cui  \( f(x) \) associa il valore \( S \), e che quindi \( s \in S \) , cioè all’insieme dei valori assunti dalla funzione.

Perciò \( s \), che è l’estremo superiore di \( S \) e gli appartiene, è allora il massimo di \( S \), contro l’ipotesi fatta che \( f(x) \) non assumesse valore massimo. Ciò è contraddittorio, e per questo motivo, come abbiamo detto all’inizio, possiamo concludere che un massimo per \( f(x) \) deve necessariamente esistere. ∎

Osservazione 2: Nel corso della dimostrazione precedente, l’ipotesi di limitatezza di \( [?,?] \) interviene quando si comincia a sezionarlo: la convergenza della successione \( z_n \) risultante da questo processo è infatti assicurata dal fatto che i suoi punti diventano via via più vicini, dal momento che le parti in cui viene diviso \( [?,?] \) diventano sempre più piccole. Ciò non sarebbe vero se \( [?,?] \) non fosse limitato.

Osservazione 3: L’ipotesi di chiusura di \( [?,?] \) viene invece utilizzata dopo aver trovato \( \tilde{x} \), al fine di poter affermare che \( \tilde{x} \in [?,?] \); questo fatto in generale avviene solo per gli insiemi chiusi. Si consideri infatti la successione \( x_n =1 / n \) nell’intervallo limitato ma non chiuso (0,2): in questo caso il limite della successione è 0, ma 0 non appartiene a (0,2).

Osservazione 4: Infine, l’ipotesi di continuità della \( f(x) \) viene adoperata, come già evidenziato nella dimostrazione, per giustificare l’uguaglianza

\[ f\Big(\lim_{n \rightarrow +\infty} z_n \Big) = \lim_{n \rightarrow +\infty} f(z_n) \]

Risulta allora evidente che tutte e tre le ipotesi del teorema di Weierstrass sono essenziali al buon funzionamento della dimostrazione, e che qualora qualcuna di queste non fosse rispettata la funzione potrebbe essere priva di minimo o massimo nell’intervallo dato.

Osservazione 5: Se tutte le ipotesi del teorema di Weirstrass sono rispettate, allora la \( f(x) \) ammette minimo e massimo nell’intervallo. Se invece qualche ipotesi non è verificata, nulla si può concludere riguardo la funzione; in particolare \( f(x) \) potrebbe avere un punto di minimo, un punto di massimo o anche entrambi.

Esempi di applicazione del teorema di Weierstrass

Esempio 1: funzione continua in un intervallo chiuso e limitato.

Consideriamo la funzione di equazione \( f(x) = x^3 – 2x + 2 \) e l’intervallo chiuso e limitato \( [−\sqrt{2},2] \). Il grafico relativo a questi dati è rappresentato nell’immagine seguente:

 

Grafico funzione y = x^3 -2x + 2

 

Dal momento che la \( f(x) \) è un polinomio, essa è senz’altro una funzione continua in ogni possibile intervallo della retta reale, quindi in particolare anche in \( [−\sqrt{2},2] \); tale intervallo è poi chiuso e limitato, proprio come richiesto dalle ipotesi del teorema di Weierstrass. Il teorema risulta perciò applicabile, e la funzione deve dunque possedere sia minimo sia massimo nell’insieme considerato. Il grafico conferma quanto scoperto per via teorica.

L’effettivo calcolo delle coordinate del minimo e del massimo è invece un’operazione più complessa, la quale richiede la conoscenza del concetto di derivata di una funzione. Nel nostro caso risulta semplice calcolare il massimo, che è \( f(2) =2^3−2\cdot 2+2=6 \); ciò ci insegna quanto sia importante calcolare i valori della funzione in esame nei punti estremi dell’intervallo di definizione.

Esempio 2: funzione continua in un intervallo non chiuso.

Facciamo adesso l’esempio della funzione \( f(x) = \sin x \), relativamente all’intervallo aperto a destra \( \Big[−\frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\Big) \). Il grafico di tale funzione è rappresentato nell’immagine seguente, nella quale è anche raffigurato in grigio il resto del grafico del seno di \( x \).

 

Grafico funzione y = sin(x)

Come sappiamo, il seno possiede dei minimi nei punti del tipo \( x = – \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) dei quali in particolare il punto \( x = -\frac{\pi}{2} \) appartiene all’intervallo dato: dunque, per quanto riguarda l’intervallo \( \Big[−\frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\Big) \) è certo verificata l’esistenza di un punto di minimo per la funzione. Se calcoliamo il limite seguente

\[ \lim_{x \rightarrow \pi / 2} \sin x = 1 \]

ci accorgiamo però che la \( f(x) \) considerata non ammette massimo nell’intervallo. Infatti il limite mostra come sia possibile raggiungere valori tanto vicini a 1 quanto si vuole, ma non 1 stesso poichè \( \frac{\pi}{2} \) non appartiene a \( \Big[−\frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\Big) \). Ciò significa che in questo intervallo sin? ammette sì minimo, ma non massimo. In effetti, visto che l’intervallo considerato non è chiuso, il teorema di Weierstrass non è applicabile, come segue dall’osservazione 3.

Esempio 3: funzione discontinua.

La funzione che esaminiamo adesso è quella di equazione \( f(x) = \frac{x \cos x}{|x|} \) nell’intervallo chiuso e limitato \( \Big[−\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\Big] \), il cui grafico è rappresentato nell’immagine seguente:

 

Grafico funzione y= xcosx / |x|

Poiché l’intervallo che ci interessa è simmetrico rispetto all’origine e la funzione è dispari, ci basta esaminare quel che succede per \( x \gt 0 \) allo scopo di avere un’immagine completa della situazione. Se \( x \gt 0 \), la nostra funzione si riduce a \( y = \cos x \) con \( x \in \Big(0, \frac{3\pi}{4} \Big] \). Dal momento che il coseno assume i minimi per \( x = \pi + 2k\pi \) e i massimi per \( x = 2k \pi \), si vede subito che nell’intervallo considerato non ci sono punti né di un tipo né dell’altro. Ci resta da considerare cosa accade per \( x = 0 \). Svolgendo i limiti

\[ \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x \cos x}{|x|} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} (-\cos x) = -1 \]

\[ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \cos x}{|x|} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} (\cos x) = 1 \]

scopriamo che la funzione non è affatto definita per \( x = 0 \), ma possiede in tal punto una discontinuità di prima specie. Allora la funzione non ha punti di minimo o punti di massimo nell’intervallo dato, ed effettivamente poiché in tale intervallo \( f(x) \) non è continua, in virtù dell’osservazione 3 il teorema di Weierstrass non può essere applicato.

Si noti che qualora l’intervallo interessante fosse stato invece un po’ più ampio, tale cioè da contenere \( (−\pi, \pi) \), come risulta dal grafico in grigio \( f(x) \) avrebbe avuto sia minimo, sia massimo, nonostante naturalmente il teorema di Weierstrass sia ancora non applicabile. Cio è in completo accordo con l’osservazione 5.

 

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