Teorema: Ogni funzione, che ammette derivata finita in un punto, continua in quel punto.
Il teorema non è invertibile, cioè non è detto che una funzione che continua in un punto sia anche derivabile in quel punto. Infatti, esistono delle funzioni per cui, in determinati punti, al tendere di h (incremento) il rapporto incrementale o non ammette limite, o tende all'infinito.
Possiamo quindi affermare che la continuità di una funzione è condizione necessaria, ma non sufficiente per la sua derivabilità.
Esempio di funzione continua ma non derivabile
Consideriamo la seguente funzione:
[math] \displaystyle y = f(x) = |x| [/math]
Analizziamo il suo comportamento nel punto x = 0.
La funzione continua in x = 0, in quanto è definita in tale punto:
[math] \displaystyle f(0) = |0| = 0 [/math]
Esiste il limite della funzione per
[math] \displaystyle x \rightarrow 0[/math]
, in quanto esistono i limiti destri e sinistri per
[math] \displaystyle x \rightarrow 0[/math]
:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} |x| = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x = 0[/math]
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} |x| = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} -x = 0[/math]
da cui segue
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0[/math]
Il limite per
[math] \displaystyle x \rightarrow 0[/math]
coincide proprio con il valore che la funzione assume nel punto x = 0:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = 0 [/math]
Affinché la funzione sia anche derivabile in x = 0 è necessario che esista il limite del rapporto incrementale per
[math] \displaystyle h \rightarrow 0[/math]
:
[math] \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} =[/math]
[math] \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|-0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|}{h}[/math]
Tuttavia, tale limite non esiste, poiché il limite destro e sinistro per
[math] \displaystyle h
\rightarrow 0[/math]
sono differenti:
[math] \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{h}{h} = 1[/math]
[math] \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{-h}{h} = -1[/math]
