Derivata della funzione inversa

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Consideriamo una generica funzione

[math] y = f(x) [/math]

, invertibile; sappiamo, allora, che possiamo calcolare la sua inversa, che indicheremo con:

[math] \displaystyle f^{-1}(x) = F(y) [/math]

Possiamo, inoltre, calcolare la derivata di una funzione inversa anche senza calcolare l'inversa stessa; infatti, vale il seguente teorema:

Teorema: La derivata di una funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione data, in tutti i punti in cui quest'ultima ha derivata non nulla:

[math] \displaystyle {f^{-1}}'(x) = F(y) = \frac{1}{f'(x)} \, \, \, \, , \, \, \, \, f'(x) \ne 0 [/math]

Esaminiamo, ora, alcune funzioni di cui già sappiamo calcolare la derivata, ma che possono essere considerate funzioni inverse di altre più semplici, o più semplicemente derivabili.

Consideriamo la funzione radice n-esima, di equazione:

[math] \displaystyle y = \sqrt[n]{x} \, \, \, \, , \, \, \, \, n \in \mathbb{N_0} \, \, \, \, , \, \, \, \, x \gt 0 [/math]

Possiamo considerare questa funzione come funzione inversa della potenza n-esima, e possiamo scrivere:

[math] \displaystyle y = \sqrt[n]{x} \leftrightarrow x = y^n [/math]

Quindi, se vogliamo calcolare la derivata della funzione radice n- esima, possiamo applicare la formula vista precedentemente:

[math] \displaystyle y' = \frac{1}{D(y^n)} [/math]

Svolgiamo ora i calcoli, e determiniamo la derivata della funzione

[math] y^n [/math]

[math] \displaystyle y' = \frac{1}{D(y^n)} = \frac{1}{n \cdot y^{n-1}} [/math]

Sapendo che le funzioni sono una l'inversa dell'altra, abbiamo la seguente uguaglianza:

[math] \displaystyle y' = \frac{1}{n \cdot y^{n-1}} =\frac{1}{n \cdot (\sqrt[n]{x})^{n-1}} =\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} [/math]

Che corrisponde proprio alla formula che utilizziamo per calcolare la derivata della funzione radice n-esima.

Consideriamo ora la funzione esponenziale di equazione:

[math] \displaystyle y = a^x \, \, \, \, , \, \, \, \, x \in \mathbb{R} \, \, \, \, , \, \, \, \, a \gt 0 [/math]

Come sappiamo, la funzione inversa dell'esponenziale è la funzione logaritmica, infatti abbiamo la seguente relazione:

[math] \displaystyle y = a^x \leftrightarrow x = \log_a y [/math]

Anche in questo caso, possiamo calcolare la derivate della funzione esponenziale utilizzando la formula vista in precedenza:

[math] \displaystyle y' = \frac{1}{D(\log_a y)} = \frac{1}{\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{\log a}} = y \cdot \log a [/math]

Dalla relazione che abbiamo tra le funzioni x ed y, possiamo riscrivere la derivata in questo modo:

[math] \displaystyle y' = a^x \cdot \log a [/math]

Derivate delle inverse delle funzioni goniometriche

Così come per le funzioni viste in precedenza, anche nel caso delle funzioni goniometriche possiamo calcolare le derivate delle inverse.

Derivata della funzione inversa del seno

La funzione inversa del seno è la funzione arcoseno, che è espressa dalla seguente equazione:

[math] \displaystyle y = \arcsin x[/math]

La derivata di questa funzione può essere calcolate con la seguente formula:

[math] \displaystyle y = \arcsin x \rightarrow y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} [/math]

Derivata della funzione inversa del coseno

La funzione inversa del coseno è la funzione arcocoseno, che ha equazione:

[math] \displaystyle y = \arccos x[/math]

. La derivata di questa funzione può essere calcolata con la seguente formula:

[math] \displaystyle y = \arccos x \rightarrow y' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} [/math]

Derivata della funzione inversa della tangente

La funzione inversa della tangente è la funzione arcotangente, con equazione:

[math] \displaystyle y = \arctan x[/math]

. La derivata di questa funzione può essere calcolate con la seguente formula:

[math] \displaystyle y = \arctan x \rightarrow y' = \frac{1}{1+x^2} [/math]

Derivata della funzione inversa della cotangente

La funzione inversa della cotangente è la funzione arcocotangente, con equazione:

[math] \def \arccot{\mbox{arccot}} y = arccot x[/math]

. La derivata di questa funzione può essere calcolate con la seguente formula:

[math] \displaystyle y = arccot x \rightarrow y' = -\frac{1}{1+x^2} [/math]

Notiamo che, mentre le derivate delle inverse della tangente e della cotangente sono definite per ogni x reale, le derivate delle inverse di seno e coseno non sono definite per x = 1 e x = -1, anche se per questi valori sono definite le funzioni di partenza. in questo caso, quindi, i domini delle funzioni di partenza e di quelle derivate non coincidono.

Esempio: Calcoliamo la derivata della seguente funzione composta:

[math] \displaystyle y = arctan(\sqrt{x}) [/math]

Come sappiamo, per calcolare la derivata di una funzione composta, espressa come

[math] \displaystyle f(x) \circ g(x)[/math]

, dobbiamo calcolare il prodotto tra la derivata della funzione stessa

[math] \displaystyle (f(g(x))[/math]

per la derivata della funzione

[math] \displaystyle g(x)[/math]

. In questo caso, abbiamo quindi:

[math] \displaystyle y' = D\Big[\displaystyle \arctan(\sqrt{x}) \Big] \cdot D(\sqrt{x}) [/math]

Calcoliamo quindi le derivate, e svolgiamo i calcoli:

[math] \displaystyle y' = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}= \frac{1}{2(1+x)\sqrt{x}} [/math]

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