Come abbiamo visto in precedenza, considerando una funzione generica f(x), e calcolando il limite del rapporto incrementale per h che tende a zero, otteniamo la derivata della funzione, che indichiamo con
[math] f(x) [/math]
:
[math] \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{f(x)} = f'(x) [/math]
Se, ora, consideriamo la funzione
[math] f(x) [/math]
, possiamo applicare lo stesso ragionamento effettuato per [math] f(x) [/math]
, cio possiamo calcolare il limite del rapporto incrementale di [math] f(x) [/math]
, per trovare la derivata di [math] f(x) [/math]
. Tale derivata viene definita derivata seconda, o derivata del secondo ordine di [math] f(x) [/math]
, e si indica [math] f(x) [/math]
:
[math] \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h} = f''(x) [/math]
Allo stesso modo, possiamo continuare, determinando le derivate del terzo, quarto ordine, e così via.
Per tali derivate, e per le derivate successive, si parla di derivate di ordine superiore della
[math] f(x) [/math]
.Esempio di derivate di ordini superiori
[math] \displaystyle f(x) = 4x^3-9x^2+3x-1[/math]
[math] \displaystyle f'(x) = 12x^2 - 18x + 3[/math]
[math] \displaystyle f''(x) = 24x - 18[/math]
[math] \displaystyle f'''(x) = 24[/math]
[math] \displaystyle f^{IV}(x) = 0[/math]
Esempio 2
[math] \displaystyle f(x) = \sin (x)[/math]
[math] \displaystyle f'(x) = \cos (x)[/math]
[math] \displaystyle f''(x) = -\sin (x)[/math]
[math] \displaystyle f'''(x) = -\cos (x)[/math]
[math] \displaystyle f^{IV}(x) = \sin (x)[/math]
