Punto di massimo relativo
Consideriamo la funzione
[math] y = f(x) [/math]
, definita in un
intervallo [math] I [/math]
. Se
[math] c [/math]
è un punto dell'intervallo
[math] I [/math]
, si dice che
[math] c [/math]
è un
punto di massimo relativo per la funzione
[math] f(x) [/math]
se esiste un intorno di
[math] c [/math]
, contenuto in
[math] I [/math]
, tale che, per tutti i punti
[math] x [/math]
di tale intorno, si abbia: [ f(x) le f(c) ]
Quindi, il valore
[math] f(c) [/math]
è il valore massimo che la funzione assume nell'intorno considerato di
[math] c [/math]
, e quindi
[math] f(c) [/math]
viene definito
massimo relativo della funzione
[math] f(x) [/math]
.
Punto di minimo relativo
Consideriamo sempre una generica funzione
[math] y = f(x) [/math]
, definita in un intervallo
[math] I [/math]
.
Se
[math] c [/math]
è un punto dell'intervallo
[math] I [/math]
, diciamo che
[math] c [/math]
è un
punto di minimo relativo per la funzione
[math] f(x) [/math]
se esiste un intorno di
[math] c [/math]
, contenuto in
[math] I [/math]
, tale che, per tutti i punti
[math] x [/math]
di tale intorno, si ha: [ f(x) ge f(c) ]
Quindi, in questo caso, il valore
[math] f(c) [/math]
è il valore minimo che la funzione assume nell'intorno considerato di
[math] c [/math]
, e quindi
[math] f(c) [/math]
viene definito
minimo relativo della funzione
[math] f(x) [/math]
.
I punti
[math] c [/math]
di massimo e minimo vengono anche definiti punti estremanti per la funzione, e i loro corrispettivi valori
[math] f(c) [/math]
si definiscono
estremi relativi.
In particolare, i massimi e i minimi relativi vengono anche definiti massimi e minimi locali, in quanto si riferiscono solo ad un particolare intorno del punto
[math] c [/math]
, e non in tutto l'intervallo
[math] I [/math]
, in cui la funzione può avere più di un punto di massimo o minimo relativo.
Estremi relativi forti e deboli
Consideriamo la funzione
[math] y = f(x) [/math]
, definita in un intervallo
[math] I [/math]
, e sia
[math] c [/math]
un punto di massimo relativo per
[math] f(x) [/math]
. Ciò significa che esiste un intorno di
[math] c [/math]
in cui ( f(x) le f(c) ). Se esiste un intorno di
[math] c [/math]
per tutti gli
[math] x [/math]
del quale (escluso al più
[math] x = c [/math]
) si ha: [ f(x) lt f(c) ]
allora
[math] c [/math]
viene definito
punto di massimo relativo forte (o proprio) e
[math] f(c) [/math]
di dice
massimo relativo forte.
Altrimenti,
[math] c [/math]
si definisce
punto di massimo relativo debole (o improprio), e
[math] f(c) [/math]
è un
massimo relativo debole.
Allo stesso modo, se esiste un intorno di
[math] c [/math]
in cui per tutti gli
[math] x [/math]
di tale intorno (escluso al più
[math] x = c [/math]
) si ha: [ f(x) gt f(c) ]
[math] c [/math]
viene definito
punto di minimo relativo forte (o proprio) e
[math] f(c) [/math]
si dice
minimo relativo forte.
In caso contrario,
[math] c [/math]
si definisce
punto di minimo relativo debole (o improprio), e
[math] f(c) [/math]
è un
minimo relativo debole.
Il punto di flesso
Consideriamo una funzione
[math] y = f(x) [/math]
; se esiste la retta, non parallela all'asse
[math] y [/math]
, tangente al grafico della funzione nel punto
[math] (x_0 ; f(x_0)) [/math]
, e se esiste un intorno di
[math] x_0 [/math]
, che indichiamo ( (x_0 - delta; x_0 + delta) ) in cui la funzione, in corrispondenza dell'intorno destro e sinistro, si trovi in parti opposte rispetto alla retta tangente, allora il punto
[math] (x_0 ; f(x_0)) [/math]
è un
flesso della curva di equazione
[math] y = f(x) [/math]
.
In particolare, ricordiamo che se la funzione è derivabile nel punto
[math] x_0 [/math]
, la retta tangente ha equazione: [ t(x) = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) ]
In base alla posizione della funzione rispetto alla retta tangente e agli interni destro e sinistro, possiamo classificare i flessi in flessi ascendenti e discendenti.
Nel caso in cui si abbia
( \begin{cases} f(x) le t(x) \text{ per } x_0 - delta lt x lt x_o \ f(x) ge t(x) \text{ per } x_0 lt x lt x_0 + delta end{cases} )
il flesso è ascendente.
Altrimenti, se abbiamo:
( \begin{cases} f(x) gt t(x) \text{ per } x_0 - delta lt x lt x_0 \ f(x) le t(x) \text{ per } x_0 lt x lt x_0 + delta end{cases} )
allora, il flesso è discendente.
