Ricerca dei massimi e minimi di una funzione

Punti stazionari

Consideriamo una funzione , definita in un intervallo , e un punto di tale intervallo. Il punto si dice punto stazionario della funzione se la derivata prima della funzione, calcolata in , è nulla, cioè: [ x = c \text{ punto stazionario } Leftrightarrow f'(c) = 0 ]

Ricordiamo che la derivata in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto al grafico della funzione.

In questo caso, quindi, possiamo dire che il punto stazionario rappresenta anche il punto in cui si ha una tangente orizzontale.

I punti stazionari sono dei punti possibili in cui trovare i massimi, minimi o flessi di una funzione.

Ricerca dei massimi e minimi relativi

Il seguente teorema mostra una condizione necessaria per l'esistenza di un massimo o un minimo per la funzione :

Teorema: Sia

una funzione definita in un intervallo e derivabile nei punti interni di . Se nel punto , interno ad , la funzione ha un massimo o un minimo relativo, allora è un punto stazionario, e si ha che: .

Quindi, nei punti di massimo e minimo relativi al grafico di una funzione derivabile si ha una retta tangente parallela all'asse

.

Benché l'annullarsi della derivata di una funzione in un punto è condizione necessaria per l'esistenza di un massimo o un minimo, essa non è anche condizione sufficiente affinché vi siano massimi o minimi.

Infatti, in alcuni casi, come accede per la funzione

, anche se la derivata della funzione calcolata in 0, che è punto stazionario, è zero ( , quindi ), non si ha un punto né di massimo né di minimo.

Vediamo, quindi, un criterio sufficiente per stabilire se un punto stazionario è un punto di massimo o minimo:

Teorema: Sia

una funzione continua in tutti i punti di un intorno ( I=(c - delta; c + delta) ) del punto ( c ) e derivabile in tutti i punti di ( I ), escluso al più ( x = c ).

Il punto

è un punto di massimo relativo per la funzione se accade che:

[ f'(c) gt 0 \text{ in } ( c - delta; c ) ]

[ f'(c) lt 0 \text{ in } (c; c + delta) ]

Il punto

è, invece, un punto di minimo relativo per la funzione se accade che:

[ f'(c) lt 0 \text{ in } ( c - delta; c ) ]

[ f'(c) gt 0 \text{ in } ( c; c + delta ) ]

Quindi, possiamo notare che se nel punto

la funzione ha un massimo relativo, essa risulterà crescente nell'intervallo ( (c - delta ; c) ) e decrescente nell'intervallo ( (c ; c + delta) ).

Al contrario, se essa ha nel punto c un minimo relativo, essa sarà decrescente nell'intervallo ( ( c - delta ; c ) ) e crescente nell'intervallo ( ( c ; c + delta ) ).

In particolare, possiamo riconoscere massimi e minimi nei punti stazionari per una funzione se la derivata prima della funzione cambia segno passando dalla sinistra alla destra del punto, cioè se la derivata cambia segno "attraversando"

.

Una funzione, tuttavia, può avere massimi o minimi anche in punti in cui non esiste la derivata, ma i cui essa è continua, come nell'esempio seguente:

Ricapitolando, per determinare i massimi e i minimi di una funzione, dobbiamo studiare il segno della derivata prima; in particolare, i passaggi da seguire sono i seguenti:

• si calcola la derivata prima,
  [math] f'(x) [/math]
  , e se ne determina il dominio per individuare gli eventuali punti in cui
  [math] f(x) [/math]
  è continua, ma non derivabile;
• si risolve l'equazione
  [math] f'(x) = 0 [/math]
  per trovare i punti stazionari;
• si studia il segno di
  [math] f'(x) [/math]
  , deducendo gli eventuali massimi e minimi, e i flessi a tangente orizzontale della funzione.

Massimi e minimi assoluti

Consideriamo una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato . Possiamo calcolare i massimi e minimi relativi interni all'intervallo con i metodi visti in precedenza; confrontando, poi, questi valori con e , possiamo determinare il massimo e il minimo assoluti della funzione, che sono, rispettivamente, il più grande e il più piccolo valore che troviamo nel confronto. Ricordiamo che, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, il massimo e il minimo di una funzione in un intervallo chiuso e limitato esistono sempre.