Punti stazionari
Consideriamo una funzioneRicordiamo che la derivata in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto al grafico della funzione.
In questo caso, quindi, possiamo dire che il punto stazionario rappresenta anche il punto in cui si ha una tangente orizzontale.
I punti stazionari sono dei punti possibili in cui trovare i massimi, minimi o flessi di una funzione.
Ricerca dei massimi e minimi relativi
Il seguente teorema mostra una condizione necessaria per l'esistenza di un massimo o un minimo per la funzioneTeorema: Sia
Quindi, nei punti di massimo e minimo relativi al grafico di una funzione derivabile si ha una retta tangente parallela all'asse
Benché l'annullarsi della derivata di una funzione in un punto è condizione necessaria per l'esistenza di un massimo o un minimo, essa non è anche condizione sufficiente affinché vi siano massimi o minimi.
Infatti, in alcuni casi, come accede per la funzione
Vediamo, quindi, un criterio sufficiente per stabilire se un punto stazionario è un punto di massimo o minimo:
Teorema: Sia
Il punto
[ f'(c) gt 0 \text{ in } ( c - delta; c ) ]
[ f'(c) lt 0 \text{ in } (c; c + delta) ]
Il punto
[ f'(c) lt 0 \text{ in } ( c - delta; c ) ]
[ f'(c) gt 0 \text{ in } ( c; c + delta ) ]
Quindi, possiamo notare che se nel punto
Al contrario, se essa ha nel punto c un minimo relativo, essa sarà decrescente nell'intervallo ( ( c - delta ; c ) ) e crescente nell'intervallo ( ( c ; c + delta ) ).
In particolare, possiamo riconoscere massimi e minimi nei punti stazionari per una funzione se la derivata prima della funzione cambia segno passando dalla sinistra alla destra del punto, cioè se la derivata cambia segno "attraversando"
Una funzione, tuttavia, può avere massimi o minimi anche in punti in cui non esiste la derivata, ma i cui essa è continua, come nell'esempio seguente:
Ricapitolando, per determinare i massimi e i minimi di una funzione, dobbiamo studiare il segno della derivata prima; in particolare, i passaggi da seguire sono i seguenti:
- si calcola la derivata prima, [math] f'(x) [/math], e se ne determina il dominio per individuare gli eventuali punti in cui[math] f(x) [/math]è continua, ma non derivabile;
- si risolve l'equazione [math] f'(x) = 0 [/math]per trovare i punti stazionari;
- si studia il segno di [math] f'(x) [/math], deducendo gli eventuali massimi e minimi, e i flessi a tangente orizzontale della funzione.