Qual è il significato geometrico della derivata

In quest'appunto troverai un approfondimento sul significato generale e geometrico di derivata.

Che cos'è una derivata e a cosa serve

La derivata è una funzione molto utilizzata in analisi matematica e in fisica. Nel primo caso, consente di effettuare alcuni step fondamentali dello studio di funzione, come ad esempio la ricerca dei minimi e dei massimi della funzione analizzata. In questo caso, per trovare tali punti basta eguagliare a 0 la derivata svolta in funzione della variabile da ottimizzare.

Nel secondo caso, invece, la funzione consente di valutare come cambia una grandezza rispetto a una certa variabile.

L'esempio più emblematico riguarda il calcolo della velocità istantanea: essa, infatti, può essere semplicemente ricavata calcolando la derivata della posizione rispetto alla variabile tempo.

Quando si parla di derivata, bisogna valutare:

• quante variabili sono presenti all'interno della funzione da derivare. Se sono presenti più derivate, infatti, è possibile effettuare anche le derivate parziali. Per fare ciò è necessario derivare la funzione rispetto a una delle variabili presenti, trattando le altre come se fossero delle costanti
• l'ordine della derivata da effettuare. Le derivate di ordine superiore al primo si effettuano ripetendo l'operazione più volte (ad esempio in caso di derivata di ordine tre bisogna derivare la funzione tre volte)

Nei paragrafi successivi entreremo in un caso specifico. Verranno considerate, infatti, solo derivate di ordine primo di funzioni aventi una sola variabile (derivate totali).
La derivata è dunque una funzione complessa, la quale può essere analizzata da più punti di vista. Alla canonica definizione attraverso il rapporto incrementale può essere infatti affiancato un altro significato, ossia quello geometrico.

La derivata come coefficiente angolare della retta tangente in un punto

Il rapporto incrementale di una funzione calcolato nel punto , relativamente ad un incremento , corrisponde al coefficiente angolare della retta secante il grafico di nei suoi punti e di ascisse e . E' questo il significato geometrico della funzione derivata.

Questa retta è anche la tangente goniometrica dell'angolo che tale retta forma con il semiasse positivo delle ascisse.

Prendiamo una funzione

derivabile nel punto . Notiamo che, se facciamo tendere a zero, cioè se attribuiamo all'incremento valori sempre più piccoli, il punto si avvicinerà sempre di più al punto , quindi, la retta secante per tenderà a diventare la retta tangente alla funzione nel punto .

Quindi, il coefficiente angolare della retta per

, che corrisponde al rapporto incrementale seguente:
tenderà sempre di più ad avvicinarsi al coefficiente angolare della retta tangente al grafico in . Sapendo che il limite del rapporto incrementale per è uguale alla derivata della funzione nel punto , possiamo scrivere che:

.

Possiamo affermare che il limite del rapporto incrementale, o la derivata di una funzione nel punto

, è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di y = f(x) nel punto di ascissa o anche che, la derivata di una funzione in un suo punto è la tangente goniometrica dell'angolo formato dalla retta tangente al grafico di nel suo punto di ascissa con il semiasse positivo delle ascisse.

In particolare, notiamo che se la derivata in un punto è infinita, la retta tangente al grafico della funzione in quel punto formerà con l'asse delle ascisse una angolo di

, e sarà quindi parallela all'asse delle y.

Viceversa, se la derivata in un punto

è zero, allora la retta tangente al grafico della funzione in quel punto risulterà parallela all'asse delle x. Infatti, il coefficiente angolare della retta , e di tutte le rette a essa parallele, è nullo.

Per ulteriori approfondimenti sul significato geometrico della derivata vedi anche qua