Il teorema di De L'Hopital presenta le seguenti ipotesi: si considerano due funzioni f(x) e g(x) definite e derivabili in tutti i punti di un intorno I di un punto c (finito o infinito), escluso al più c stesso; se il limite del rapporto per x che tende a c delle funzioni si presenta in una forma indeterminata del tipo [0/0] o
[math] \displaystyle [\infty/\infty] [/math]
, se la
derivata della funzione g(x) è diversa da zero in tutti i punti di I, escluso x = c, e se esiste il limite per
[math] \displaystyle x \rightarrow c[/math]
del rapporto delle
derivate delle funzioni, allora esiste anche il limite, per
[math] \displaystyle x
\rightarrow c[/math]
, del rapporto delle funzioni stesse, e i due limiti coincidono:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f'(x)}{g'(x)} [/math]
Da questo teorema possiamo ricavare una regola molto utile, da applicare per risolvere certi limiti che si presentano nelle forme indeterminate sopra elencate; tale regola viene definita regola di De L'Hopital:
In particolare, il teorema e la regola di De L'Hopital sono validi considerando il limite per x che tende a c, sia nel caso in cui c un valore finito, sia nel caso in cui esso sia un valore infinito.
Inoltre, se c è un valore finito, il teorema vale anche se I è un intorno solamente destro, o solamente sinistro di c.
Ci sono alcuni casi, poi, in cui capita che anche il limite per
[math] \displaystyle x \rightarrow c[/math]
delle derivate delle funzioni si presenti in una forma indeterminata del tipo [0/0] o
[math] \displaystyle [\infty/\infty][/math]
:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{0}{0} \text{ oppure } \lim_{x
\rightarrow c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{\infty}{\infty}[/math]
in questo caso, la regola di De L'Hopital può essere applicata nuovamente sul rapporto delle derivate, e in questo caso si ha che:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f''(x)}{g''(x)}[/math]
Quindi, il teorema può essere applicato ripetutamente, finché non si giunge ad un limite che non si trova più in una forma indeterminata.
Applicazioni al confronto di particolari infiniti
Il teorema di De L'Hopital può essere applicato allo studio di infiniti particolari.
Consideriamo, per esempio, la funzione logaritmica,
[math] \displaystyle y = \log x[/math]
, e paragoniamola alla funzione
[math] y = x [/math]
. Studiamo, quindi, il seguente limite:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\log x}{x^{\alpha}}[/math]
cercando di capire se esiste un esponente di x positivo per cui il limite sia finito e non nullo.
Poiché il limite si presenta nella forma indeterminata
[math] \displaystyle [\infty/\infty][/math]
, possiamo applicare il teorema di De LHopital:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\log x}{x^{\alpha}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{\alpha \cdot x^{\alpha - 1}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{\alpha \cdot x^{\alpha}} = 0[/math]
Possiamo quindi affermare che il limite sopra scritto sempre nullo:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\log x}{x^{\alpha}} = 0 \text{, } \forall \alpha \in \mathbb{R^{+}}[/math]
Questo ci permette di dire che il logaritmo in base
[math] e [/math]
è un infinito di ordine inferiore a qualsiasi potenza di x ad esponente positivo, e quindi non esiste un numero che possa esprimerne l'ordine di grandezza.
Similmente, possiamo studiare la funzione esponenziale
[math] y = e^x [/math]
, calcolando il seguente limite:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^{\alpha}}[/math]
Poiché, anche in questo caso il limite si presenta nella forma indeterminata
[math][\infty/\infty][/math]
, possiamo applicare il teorema di De L'Hopital:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^{\alpha}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{\alpha \cdot x^{\alpha-1}}[/math]
Notiamo che, essendo la derivata di
[math] e^x [/math]
sempre
[math] e^x [/math]
, non abbiamo cambiamenti al numeratore, e al denominatore abbiamo sempre
potenze di x; dobbiamo, quindi, applicare il teorema finché al denominatore non resta un fattore che moltiplica x:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{\alpha \cdot x^{\alpha-1}} = \ldots = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{k \cdot x} =\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{k} = +\infty[/math]
Quindi, il limite precedente vale sempre pi infinito:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^{\alpha}} = +\infty, \, \, \, \forall \alpha \in \mathbb{R^{+}}[/math]
Possiamo, quindi, affermare che l'esponenziale
[math] e^x [/math]
è un infinito di ordine superiore a qualsiasi potenza di x ad esponente positivo, e quindi, anche in questo caso, non esiste un numero che ne esprima l'ordine di infinito.
