Teorema di Rolle

Consideriamo una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso di estremi a e b, e derivabile nei punti interni di tale intervallo; se la funzione assume valori uguali agli estremi a e b dell’intervallo, allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, in cui la funzione ha derivata nulla, cioè tale che $  f’(c) = 0 $.

Possiamo schematizzare il teorema di Rolle in questo modo:

\( \left. \begin{array}{l} \text{$f(x)$ continua in } [a;b] \\ \text{$f(x)$ derivabile in } (a;b) \\ f(a) = f(b)\end{array} \right\} \Rightarrow \exists c \in (a;b) | f'(c) = 0 \)

Vediamo ora alcuni casi in cui si verificano le ipotesi del teorema di Rolle; chiamiamo m e M i valori minimo e massimo assunti dalla funzione nell’intervallo [a;b]:

  • Se m = M, la funzione assume, in tutto l’intervallo, lo stesso valore, che corrisponde a m = M; la funzione è, quindi, la funzione costante, e in particolare, si avrà anche che f (c) = m = M. Pertanto, in tutti i punti dell’intervallo, e quindi anche in c, la derivata della funzione sarà nulla.

 

Grafico funzione costante

 

 

 

 

 

 

 

  • Se \( m \lt M \), la funzione non è costante in [a;b]; in questo caso possiamo capire meglio il teorema di Rolle anche dal punto di vista geometrico. Sappiamo, infatti, che la derivata di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto; se in un intervallo [a;b] esiste un punto c tale che si ha $ f’(c) = 0 $, allora in quel punto la tangente alla funzione è parallela all’asse x.

 

Grafico funzione tangente punti con derivata nulla

 

 

 

 

 

 

 

Significa che F(x) è una costante.

 

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