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di _stan
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In quest'appunto di matematica troverai l'elenco di alcuni teoremi finalizzati al calcolo delle derivate in presenza di funzioni composte o somme algebriche di funzioni, con annessi esempi applicativi.

Come calcolare le derivate di una somma

Teorema: La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle funzioni stesse. Si ha quindi:

[math]y = f(x) + g(x) \rightarrow y' = f'(x) + g'(x)[/math]

E' possibile enunciare un teorema molto simile anche per il calcolo delle derivate di una differenza di due funzioni derivabili.

Come calcolare le derivate di una differenza

Teorema: La derivata della differenza tra due funzioni derivabili è uguale alla differenza tra le derivate delle due funzioni, cioè:

[math]y = f(x) - g(x) \rightarrow y' = f'(x) - g'(x)[/math]

In generale, possiamo quindi dire che la derivata della somma algebrica di due o più funzioni derivabili è uguale alla somma algebrica delle derivate delle due funzioni.

Esempio applicativo sulla derivata di una somma algebrica di funzioni

Consideriamo la seguente funzione, e calcoliamo la sua derivata:
[math]f(x) = cos x + x - log x + 3 [/math]

Questa funzione costituita dalla somma algebrica di quattro funzioni; come abbiamo visto in precedenza, la sua derivata è data dalla somma algebrica delle derivate delle singole funzioni, quindi abbiamo che:

[math]f'(x) = -sin x + 1 - \frac{1}{x} [/math]

Come calcolare le derivate di un prodotto di due funzioni

Teorema: La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata, più il prodotto della prima funzione (non derivata) per la derivata della seconda:

[math]y = f(x) \cdot g(x) \rightarrow y' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) [/math]

In particolare, se una delle due funzioni è rappresentata da una costante, allora la derivata del prodotto delle due funzioni è uguale al prodotto della funzione costante per la derivata dell'altra funzione (infatti, sappiamo che la derivata di una funzione costante è sempre uguale a zero):

[math] y = f(x) \cdot c \Rightarrow y' = f'(x) \cdot c [/math]

Questa regola, che riguarda il prodotto di due funzioni, può essere estesa al prodotto di più funzioni; quindi possiamo dire che, in generale, la derivata del prodotto di più funzioni derivabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascuna funzione per tutte le altre non derivate.

Esempio applicativo sulla derivata di un prodotto tra funzioni

Calcoliamo la derivata del prodotto delle seguenti funzioni:

[math] f(x) = sin x , g(x) = cos x [/math]

Sapendo che, la derivata di

[math]sin(x)[/math]
è
[math]cos(x)[/math]
e che la derivata di
[math]cos(x) [/math]
è
[math]- sin(x)[/math]
, possiamo calcolare la derivata della funzione prodotto:

[math] y = sin x \cdot cos x \rightarrow y' = cos x \cdot cos x + sin x \cdot (-sin x) [/math]

Quindi, svolgendo i calcoli, otteniamo:

[math] y' = cos^2 x - sin^2 x [/math]

Come calcolare le derivate di un quoziente di funzioni

Teorema: La derivata del quoziente di due funzioni derivabili (la funzione che al denominatore deve essere diversa da zero nei punti in cui si calcola la derivata) è uguale a una funzione che ha per denominatore il quadrato della funzione divisore, e al numeratore il prodotto tra la derivata del dividendo e il divisore, diminuito del prodotto tra il dividendo per la derivata del divisore, cio:

[math] y = \frac{f(x)}{g(x)} \Rightarrow y' = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2} [/math]

In particolare, se la funzione ha per numeratore 1, allora la sua derivata ha per denominatore il quadrato del divisore, e per numeratore la derivata del divisore con segno cambiato, perchè, infatti, la derivata di 1 è uguale a zero:

[math] y = \frac{1}{g(x)} \rightarrow y' = \frac{-g'(x)}{[g(x)]^2} [/math]

Esempio applicativo sulla derivata del quoziente di due funzioni

Consideriamo la seguente funzione, e calcoliamo la sua derivata:

[math] y = \frac{2x-1}{x^2+1} [/math]

Sappiamo che la derivata del numeratore è 2, mentre la derivata del denominatore è

[math] 2x[/math]
; quindi, il numeratore è dato dal prodotto tra 2 e
[math] (x^2 -1) [/math]
, diminuito del prodotto tra
[math](2x -1)[/math]
e
[math] 2x,[/math]
mentre il denominatore è dato dal quadrato del divisore:

[math] y' = \frac{2 \cdot (x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} [/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math] y' = \frac{2 \cdot (x^2+1) - (2x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2+2x-2x^2}{(x^2+1)^2}
[/math]
Applicando i teoremi che abbiamo visto in precedenza, possiamo ricavare le derivate di altre funzioni.

Per esempio, sapendo che la tangente è data dal rapporto tra il seno e il coseno di un angolo, e conoscendo le derivate di questi, possiamo calcolare la derivata della tangente, che è data dalle seguente formula:

[math]y = tan x \Rightarrow y' = \frac{1}{cos^2 x} = 1 + tan^2 x[/math]

Allo stesso modo, sapendo che la cotangente di un angolo è data dal rapporto tra il coseno e il seno di un angolo, possiamo calcolare la sua derivata, che è data da:

[math]y = cot x \rightarrow y' = -\frac{1}{sin^2 x} = -(1+cot^2 x)[/math]

Per ulteriori approfondimenti sui teoremi sulle derivate vedi anche qua

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