Disequazioni binomie
Le disequazioni binomie sono
disequazioni che hanno a primo membro una potenza di x, e al secondo membro un
numero reale; sono quindi del tipo:
[math] \displaystyle x^n \gt a\mbox{, } \, \, \, \, \, x^n \ge a[/math]
[math] \displaystyle x^n \lt a\mbox{, } \, \, \, \, \, x^n \le a[/math]
con
[math] \displaystyle n \in \mathbb{N^*}\mbox{, } \, \, \, a \ne 0[/math]
.
In particolare, nel caso in cui n = 1, le disequazioni esprimono già le loro soluzioni;
nel caso in cui a = 0, le disequazioni si trasformano in disequazioni monomie, e la loro soluzione si può facilmente dedurre.
Negli altri casi, consideriamo i due casi separatamente:
in questo caso, possiamo semplicemente porre entrambi i membri della disequazione sotto radice n-esima: in questo modo, troveremo i valori di x che soddisfano la disequazione:
[math] \displaystyle x^n \gt a \rightarrow x \gt \sqrt[n]{a}\mbox{, } \, \, \, \, , x^n \ge a \rightarrow x \ge \sqrt[n]{a}[/math]
[math] \displaystyle x^n \lt a \rightarrow x \lt \sqrt[n]{a}\mbox{, } \, \, \, \, , x^n \le a \rightarrow x \le \sqrt[n]{a}[/math]
con
[math] \displaystyle n \mbox{ dispari, } a \in \mathbb{R}[/math]
.
Vediamo alcuni esempi:
Esempio: calcoliamo la seguente disequazione:
[math] \displaystyle 8x^3 + 1 \gt 0[/math]
portiamo il termine noto al secondo membro:
[math] \displaystyle 8x^3 \gt -1[/math]
dividiamo primo e secondo membro per 8:
[math] \displaystyle x^3 \gt -\frac{1}{8}[/math]
calcoliamo la radice cubica del primo e del secondo membro:
[math] \displaystyle \sqrt[3]{x^3} \gt \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} \rightarrow x \gt -\sqrt[3]{\frac{1}{8}} \rightarrow x \gt -\frac{1}{2}[/math]
l'insieme delle soluzioni è dato, quindi, da:
[math] \displaystyle S: \Big(-\frac{1}{2}; +\infty\Big) [/math]
supponiamo che sia n = 2: sappiamo che le soluzioni della disequazione sono dati dai valori interni dell'
intervallo delle radici se il segno della disequazione
[math] \displaystyle \lt 0 \le[/math]
, sono invece i valori esterni se il segno è
[math] \displaystyle \gt 0 \ge [/math]
; questo ragionamento può essere generalizzato nel caso di qualunque indice
[math] \displaystyle n \mbox{ pari, } a \gt 0[/math]
:
[math] \displaystyle x^n \gt a \rightarrow x \lt -\sqrt[n]{a} \vee x \gt \sqrt[n]{a}[/math]
[math] \displaystyle x^n \ge a \rightarrow x \le -\sqrt[n]{a} \vee x \ge \sqrt[n]{a}[/math]
[math] \displaystyle x^n \lt a \rightarrow -\sqrt[n]{a} \lt x \lt \sqrt[n]{a}[/math]
[math] \displaystyle x^n \le a \rightarrow -\sqrt[n]{a} \le x \le \sqrt[n]{a}[/math]
Ricordiamo che questo ragionamento può essere applicato solo nel caso in cui il radicando a sia positivo.
Esempio: calcoliamo la seguente disequazione:
[math] \displaystyle 2x^4 - 3 \lt 0[/math]
portiamo il termine noto al secondo membro:
[math] \displaystyle 2x^4 \lt 3[/math]
dividiamo primo e secondo membro per 2:
[math] \displaystyle x^4 \lt \frac{3}{2}[/math]
Risolviamo, ora, l'equazione associata e troviamo gli estremi dell'intervallo delle radici:
[math] \displaystyle x^4 = \frac{3}{2}[/math]
calcoliamo la radice quarta del primo e del secondo membro:
[math] \displaystyle \sqrt[4]{x^4} = \pm\sqrt[4]{\frac{3}{2}} \rightarrow x \pm \sqrt[4]{\frac{3}{2}}[/math]
poiché il simbolo della disequazione
[math] \displaystyle lt[/math]
, l'insieme delle soluzioni è dato dai valori interni all'intervallo delle radici:
[math] \displaystyle -\sqrt[4]{\frac{3}{2}} \lt x \lt \sqrt[4]{\frac{3}{2}} [/math]
l'insieme delle soluzioni è dato, quindi, da:
[math] \displaystyle S: \Big(-\sqrt[4]{\frac{3}{2}}; \sqrt[4]{\frac{3}{2}} \Big) [/math]
Disequazioni trinomie
Le disequazioni trinomie, ridotte in forma canonica, sono del tipo:
[math] \displaystyle ax^{2n} + bx^n + c \gt 0\mbox{, } \, \, \, ax^{2n} + bx^n + c \ge 0[/math]
[math] \displaystyle ax^{2n} + bx^n + c \lt 0\mbox{, } \, \, \, ax^{2n} + bx^n + c \le 0[/math]
con
[math] \displaystyle n \in \mathbb{N^*}\mbox{, } \, \, a \ne 0[/math]
.
Sono dissertazioni, cioè, in cui la x di grado maggiore ha grado doppio della x del secondo coefficiente.
Questo tipo di disequazioni, cos come abbiamo visto per le equazioni trinomie, possono essere risolte mediante un cambio di incognita; in particolare, si opera una sostituzione del tipo:
[math] \displaystyle y = x^n [/math]
cosicché la disequazione si riduce ad una disequazione di secondo grado in forma normale.
Esempio: risolviamo la seguente disequazione trinomia:
[math] \displaystyle x^6 + 7x^3 - 8 \gt 0 [/math]
effettuiamo la sostituzione seguente:
[math] \displaystyle y = x^3[/math]
otteniamo quindi:
[math] \displaystyle y^2 + 7y - 8 \gt 0[/math]
la disequazione è già ridotta in forma normale, quindi risolviamo l'equazione associata per trovare gli estremi dell'intervallo delle radici:
[math] \displaystyle y^2 + 7y - 8 = 0 \rightarrow y = \frac{-7\pm\sqrt{49+32}}{2} = \frac{-7\pm\sqrt{81}}{2} = [/math]
[math] \displaystyle = \frac{-7 \pm 9}{2} [/math]
[math] \displaystyle y = \frac{-7+9}{2} \vee y = \frac{-7-9}{2} \rightarrow y = \frac{2}{2} \vee y = [/math]
[math] \displaystyle = \frac{-16}{2} \rightarrow y= 1 \vee y = -8[/math]
poiché la disequazione ha simbolo
[math] \displaystyle \gt[/math]
, l'insieme delle soluzioni è dato dai valori esterni all'intervallo delle radici:
[math] \displaystyle y \lt -8 \vee y \gt 1[/math]
Sostituiamo ora ad y x alla terza per trovare le soluzioni della disequazione di partenza, in x:
[math] \displaystyle x^3 \lt -8 \vee x^3 \gt 1 \rightarrow x \lt -2 \vee x \gt 1[/math]
Concludiamo, quindi, che l'insieme delle soluzioni della disequazione è il seguente:
[math] \displaystyle S: (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)[/math]
