Disequazioni irrazionali

Una disequazione si dice irrazionale se in essa compaiono uno o pi radicali contenenti l'incognita.

Cos come per le equazioni, che nel caso delle disequazioni dobbiamo ricordarci che, se abbiamo a che fare con radicali di indice dispari, il radicale definito purché sia definito il suo radicando, quindi non dobbiamo porre condizioni di esistenza;

mentre, nel caso in cui il radicale abbia indice pari, necessario che il suo radicando sia maggiore o uguale a zero.

Risoluzione

Vediamo ora come risolvere le disequazioni irrazionali; per semplicit, vediamo separatamente i casi in cui il radicale presente sia cubico, e i casi in cui quadratico.

Disequazioni irrazionali con radicale cubico

Per risolvere questo tipo di disequazione, dobbiamo cercare di eliminare il radicale cubico elevando entrambi i membri della disequazione al cubo, senza preoccuparci di porre alcuna condizione, eccetto i casi in cui la disequazione sia anche frazionaria.

Esempio: vediamo come risolvere una disequazione con radicale cubico:

Possiamo procedere elevando il primo e il secondo membro della disequazione alla terza:

Svolgiamo i calcoli:

Portiamo tutto a primo membro e semplifichiamo:

Risolviamo l'equazione associata per trovare gli estremi dell'intervallo delle radici:

Poiché l'ultima disequazione che abbiamo ha primo coefficiente positivo, ed maggiore di zero, le soluzioni sono date dai valori esterni all'intervallo delle radici:

Disequazioni irrazionali con radicali quadratici

In questo caso, si procede cercando di eliminare la radice, mediante elevamenti al quadrato di entrambi i membri della disequazione; dobbiamo prima, per, determinare il dominio della disequazione, le condizioni di esistenza dei radicali quadratici e delle eventuali frazioni presenti.

Inoltre, è possibile elevare al quadrato i membri della disequazione solo se essi sono entrambi positivi o nulli; in questo modo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data, ma solo nel dominio.

Esempio: consideriamo la disequazione:

Per risolverla, è utile impostare un sistema, in cui includiamo le condizioni di esistenza e eleviamo entrambi i membri della disequazione al quadrato:

Procediamo con i calcoli:

Otteniamo quindi:

Risoluzione delle disequazioni del tipo

[math] \displaystyle \sqrt{x} \lt g(x)[/math]

Per le disequazioni di questo tipo, in cui f(x) e g(x) sono espressioni in x, facciamo alcune considerazioni:

• è necessario che il radicando sia positivo o nullo, quindi dobbiamo porre
  [math] \displaystyle f(x) \ge 0[/math]
  ;
• dato che g(x) deve essere maggiore di una quantità positiva o nulla, è necessario che anche esso sia positivo, quindi poniamo
  [math] \displaystyle g(x) \gt 0[/math]
  ;
• per eliminare la radice, eleviamo al quadrato entrambi i membri;

poiché queste osservazioni devono valere contemporaneamente, per risolvere disequazioni irrazionali del tipo , possiamo impostare un sistema:

Risoluzione delle disequazioni del tipo

[math] \displaystyle \sqrt{f(x)} \gt g(x)[/math]

In questo caso, dobbiamo sicuramente porre le condizioni di esistenza del radicale, e quindi ; poi, notiamo che, a disprezza del caso precedente, il secondo membro ora può essere positivo, nullo, ma anche negativo.

In particolare, se il secondo membro è positivo o nullo, procediamo elevando al quadrato entrambi i membri della disequazione; altrimenti, se il secondo membro è negativo, la disequazione è soddisfatta per tutti i valori di x (che soddisfino le C.E.).

Le soluzioni della disequazione sono date quindi dall'unione di due sistemi:

Notiamo che il primo sistema può essere semplificato: la terza condizione, infatti, afferma che f(x) maggiore di un quadrato, che è una quantità positiva o nulla; afferma, quindi, che necessariamente f(x) una quantità positiva.

Quindi, la prima condizione è implicita nella terza, e possiamo riscrivere i sistemi in questo modo:

l'insieme delle soluzioni è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni