Disuguaglianze
Per esprimere la relazione di disuguaglianza tra numeri si utilizzano i simboli di maggiore ( > ) e minore (4 3
e la scrittura è equivalente se letta al contrario, cioé:
9 > 4 ; 3
Quindi, in generale possiamo dire che:
- [math]a \gt b[/math]: il numero a è maggiore del numero b;[math] a \ge b \leftrightarrow a \gt b \vee a = b [/math]
- [math]a \lt b[/math]: il numero a è minore del numero b;[math] a \le b \leftrightarrow a \lt b \vee a = b [/math]
- [math] a \ge b[/math]: il numero a è maggiore o uguale del numero b;
- [math]a \le b[/math]: il numero a è minore o uguale del numero b;
Vediamo ora alcune proprietà di cui godono le disuguaglianze.
Precisiamo che, per disuguaglianza dello stesso verso si intende una disuguaglianza che abbia lo stesso simbolo della precedente; mentre, una disuguaglianza di verso opposto è una disuguaglianza che che il simbolo
- Sommando o sottraendo una stessa quantità da ciascun membro di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso;
oppure, sottraiamo il numero 4:
- Moltiplicando o dividendo per una stessa quantità positiva entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso;
ora, dividiamo entrambi per 3:
- Moltiplicando o dividendo per una stessa quantit negativa entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza di verso opposto;
ora, dividiamo entrambi per - 3:
- la disuguaglianza tra due numeri concordi di verso opposto a quello della disuguaglianza tra i loro reciproci;
Generalità sulle disequazioni
Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni in cui compare una o più lettere, dette incognite.Così come le equazioni, anche le disequazioni possono essere numeriche, letterali, intere o frazionarie:
Disequazioni numeriche: disequazioni in cui figura solo la lettera che rappresenta l'incognita;
Disequazioni letterali: disequazioni in cui, oltre alla lettera incognita, compaiono altre lettere delle parametri;
Disequazioni intere: disequazioni in cui le incognite compaiono solo al numeratore delle frazioni eventualmente presenti;
Disequazioni frazionarie: disequazioni in cui le incognite compaiono anche al denominatore delle frazioni eventualmente presenti;
Come per le equazioni, le disequazioni si trasformano in disuguaglianze quando vi si sostituisce, al posto dell'incognita, un valore numerico; le disuguaglianze possono essere vere o false.
Dominio di una disequazione
Si definisce dominio di una disequazione l'insieme dei numeri reali che, se sostituiti all'incognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza dotata di significato, cioé vera o falsa.esempio: consideriamo la disequazione
sappiamo che il denominatore di una frazione non può mai annullarsi, quindi dobbiamo escludere dalle possibili soluzioni quelle per cui il denominatore si annulla: la disequazione ha quindi domino:
Ecco alcune osservazioni sul dominio delle equazioni:
- Tutte le equazioni intere in una sola incognita hanno come dominio linsieme R dei numeri reali;
- Alcune disequazioni frazionarie possono avere come dominio R; sono quelle disequazioni in cui compare una frazione il cui denominatore non può mai annullarsi, ad esempio: [math] \frac{1}{x^2+4} \gt 0 [/math]