Principi di equivalenza delle disequazioni
Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.Per risolvere una disequazione, così come abbiamo fatto per le equazioni, si procede semplificando la disequazione, passando per disequazioni equivalenti, fino ad ottenere una disequazione molto semplice, che può essere risolta facilmente.
Vediamo, quindi, alcuni principi che ci permettono di passare da una disequazione ad un'altra equivalente.
Primo principio di equivalenza delle disequazioni
Sommando o sottraendo a entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione algebrica intera, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Secondo principio di equivalenza delle disequazioni
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Terzo principio di equivalenza delle disequazioni
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero negativo e cambiando il verso del simbolo di disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Vediamo ora delle regole che ci permetteranno di svolgere i calcoli, e semplificare i passaggi con le disequazioni.
- possibile trasportare i termini di una disequazione da un membro all'altro cambiandogli il segno (questa operazione, infatti, equivale a sommare o sottrarre una stessa quantità numerica da entrambi i membri);
possiamo trasportare al primo membro il termine 5x, cambiandogli il segno; come se avessimo sottraessimo ad ambo i membri la quantit 5x.
- è possibile cancellare un termine dalla disequazione se esso figura, con lo stesso segno, in entrambi i membri;
il termine 4x può essere cancellato; è come se ad entrambi i membri della disequazione sottraessimo 4x:
- è possibile cancellare uno stesso fattore numerico positivo se esso compare in entrambi i membri;
possiamo dividere entrambi i membri per 2, ottenendo
- se in entrambi i membri della disequazione compare uno stesso fattore numerico negativo, esso può essere cancellato purché si cambi il verso della disequazione.
possiamo dividere entrambi i membri per - 2, e cambiare verso alla disequazione, ottenendo
- si può cambiare seguo ad entrambi i membri della disequazione se si cambia anche il verso della stessa;
se volessimo cambiare segno ad entrambi i membri, cio moltiplicare entrambi i membri per - 1, dobbiamo anche cambiare il verso della disequazione:
- si possono scambiare tra loro i due membri della disequazione, cambiando anche il verso della stessa;
- se in una disequazione intera compaiono frazioni, o termini con coefficienti frazionari, è possibile, dopo aver espresso entrambi i membri come frazioni aventi uno stesso denominatore positivo, eliminare i denominatori.
dopo aver calcolato il minimo comune multiplo dei denominatori, e dopo aver ridotto tutte le frazioni allo stesso denominatore, possiamo eliminare il denominatore delle frazioni:
Grado di una disequazione
Una disequazione può sempre essere ricondotta alla forma canonica, cioè alla forma
dove P(x) è un polinomio; per una disequazione di questo tipo si può parlare di grado:
il grado di una disequazione nell'incognita x, ridotta in forma normale, è il grado rispetto alla lettera x del polinomio P(x), che si trova al primo membro.
Per determinare il grado di una disequazione, quindi, occorre sempre ridurla in forma normale; una disequazione di primo grado viene definita disequazione lineare.
Altro materiale di supporto
Videolezione sulle disequazioni
