Le equazioni di secondo grado: differenze e soluzioni

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In quest'appunto troverai le informazioni fondamentali su come riconoscere le varie tipologie di equazioni di secondo grado e come svolgerle in modo corretto.

Le equazioni di secondo grado: cosa sono e quali sono le caratteristiche principali

Un'equazione di secondo grado è un' equazione nella quale l'incognita compare elevata al quadrato, pur contenendo anche termini con l'incognita al primo grado.

Come le equazioni di primo grado, anche le equazioni di secondo grado si possono scrivere in forma normale o canonica.

Per fare ciò, è necessario che il primo membro sia un polinomio

[math]P(x)[/math]

di secondo grado, mentre il secondo membro sia zero:

[math] ax^2 + bx + c = 0 [/math]

Le lettere

[math]a, b, c[/math]

rappresentano dei numeri reali ed è fondamentale che il coefficiente

[math]a[/math]

sia diverso da zero. Questi tre valori sono anche detti, rispettivamente, primo, secondo e terzo coefficiente. Il termine

[math]c[/math]

viene anche definito termine noto.

Le equazioni di secondo grado possono essere classificate in base alla loro composizione. Quando tutti i coefficienti sono diversi da zero, l'equazione si dice completa. Se, invece, almeno uno tra

[math]b[/math]

[math]c[/math]

è zero, essa si dice incompleta. Le equazioni incomplete si dividono in tre tipi:

un'equazione di secondo grado incompleta si dice monomia se
[math]b = 0[/math]
e
[math]c = 0[/math]
, ed è nella forma:
[math]ax^2 = 0 [/math]
un'equazione di secondo grado incompleta si dice pura se
[math]b = 0[/math]
e ( c è
[math]\neq[/math]
0 ), e segue la forma:
[math] ax^2 + c = 0 [/math]
un'equazione di secondo grado incompleta si dice spuria se
[math]b\neq0 e a\neq0[/math]
ed è nella forma:
[math] ax^2 + bx = 0 [/math]

Come trovare le soluzioni di un'equazione di secondo grado

Un'equazione di secondo grado può avere zero, una o due soluzioni. In particolare, quando un'equazione di secondo grado ha una soluzione, si dice che essa ha una soluzione doppia oppure che l'equazione ha due soluzioni coincidenti.
Per esempio, diremo che l'equazione di secondo grado

[math] x^2 -2x + 1 = 0 [/math]

che equivale a

[math] (x-1)^2 = 0 [/math]

ha una soluzione doppia, ossia

[math]x = 1[/math]

Come risolvere un'equazione di secondo grado monomia

Un'equazione di secondo grado monomia appare nella forma

[math] ax^2 = 0 [/math]

Per risolvere un'equazione di questo tipo possiamo dividere entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente di

[math]x[/math]

alla seconda:

[math]ax^2 = 0 \rightarrow \frac{ax^2}{a} = \frac{0}{a} \rightarrow x^2 = 0 [/math]

Possiamo notare, quindi che indipendentemente dal coefficiente

[math]a[/math]

, l'equazione si riduce sempre alla forma

[math]x^2 = 0 [/math]

,che implica

[math]x = 0[/math]

Concludiamo, quindi, che l'equazione monomia di secondo grado ha sempre due soluzioni coincidenti e che

[math] x = 0 [/math]

è l'unica soluzione doppia dell'equazione.

Come risolvere un'equazione di secondo grado pura

Le equazioni di secondo grado pure sono nella forma

[math] ax^2 + c = 0 [/math]

.
Per risolvere questo tipo di equazione, trasportiamo il termine noto al secondo membro, e poi dividiamo entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente di

[math]x[/math]

alla seconda. In termini matematici, significa:

[math] ax^2 + c = 0
\rightarrow ax^2 = -c
\rightarrow x^2 = -\frac{c}{a} [/math]

A questo punto, dobbiamo distinguere due casi:

se
[math]a[/math]
e
[math]c[/math]
sono concordi,
[math]\frac{a}{c}[/math]
è positivo. Quindi il suo opposto
[math]-\frac{a}{c} [/math]
è negativo. Poichè un quadrato non può mai essere uguale ad un numero negativo, l'equazione è impossibile
se
[math]a[/math]
e
[math]c[/math]
sono discordi, allora
[math]\frac{a}{c}[/math]
è negativo e il suo opposto
[math]-\frac{a}{c}[/math]
è positivo. In questo caso, possiamo risolvere l'equazione trovando due radici opposte. Ossia:
[math]x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}}, x_2 = - \sqrt{-\frac{c}{a}} [/math]

Come risolvere le equazioni di secondo grado spurie

Le equazioni di secondo grado spurie sono nella forma

[math] ax^2 + bx = 0 [/math]

. Per risolverle, mettiamo in evidenza

[math]x[/math]

al primo membro:

[math] ax^2 + bx = 0 \rightarrow x(ax + b) = 0 [/math]

Per la legge dell'annullamento del prodotto almeno uno dei due fattori deve essere zero, quindi:

[math] x = 0, ax + b = 0
\rightarrow x = 0 x = -\frac{b}{a} [/math]

Concludiamo, quindi, che ogni equazione spuria ha sempre due soluzioni delle quali una è zero, e l'altra è data da

[math]- \frac{b}{a}[/math]

[math] x_1 = 0, x_2 = -\frac{b}{a} [/math]

Le equazioni complete sono esaminate nella scheda seguente.
Scarica la scheda completa sulle equazioni di secondo grado

Esercizi sulla risoluzioni di equazioni complete e non

Trova le/la soluzione delle seguenti equazioni di secondo grado:

[math]x^2+6x+3=0[/math]
[math]2x^2-8=0[/math]
[math]20x+2=0[/math]

Svolgimento degli esercizi

Calcoliamo il discriminante dell'equazione
[math]x^2+6x+9=0[/math]
.
[math]\delta=b^2-4ac=36-36=0[/math]
. Quindi:
[math]x_1=x_2=-6/2=-3[/math]
Per quanto riguarda l'equazione
[math]2x^2-8=0[/math]
, bisogna isolare la quantità al quadrato al primo membro e quindi:
[math]x^2=\frac{8}{2}=4[/math]
, da cui
[math]x=\pm 2[/math]
L'equazione
[math]20x+2=0[/math]
è in realtà di grado 1. Per questo motivo, si risolve come
[math]x=-\frac{2}{20}=\frac{1}{10}[/math]