Equazioni di secondo grado

Generalità

Così come le equazioni di primo grado, anche le equazioni di secondo grado si possono scrivere in forma normale, o canonica, in modo tale, cioè, che il primo membro sia un polinomio P(x) di secondo grado, mentre il secondo membro sia zero:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Le lettere a, b, c rappresentano dei numeri reali, e a deve essere diverso da zero. questi tre valori sono anche detti, rispettivamente, primo, secondo e terzo coefficiente; il termine c viene anche definito termine noto.

Le equazioni di secondo grado possono essere classificate in base alla loro composizione: se tutti i coefficienti sono diversi da zero, l’equazione si dice completa, altrimenti, se almeno uno tra b e c è zero, essa si dice incompleta, e le equazioni incomplete si dividono in tre tipi:

  • un’equazione di secondo grado incompleta si dice monomia se b = 0 e c = 0, ed è della forma: \[ ax^2 = 0 \]
  • un’equazione di secondo grado incompleta si dice pura se b = 0 e \( c \ne 0 \), ed è della forma: \[ ax^2 + c = 0 \]
  • un’equazione di secondo grado incompleta si dice spuria se \( b  \ne 0 \) e c = 0, ed è della forma: \[ ax^2 + bx = 0 \]

 

Soluzioni di un’equazione di secondo grado

Un’equazione di secondo grado può avere zero, una o due soluzioni; in particolare, quando un’equazione di secondo grado ha una soluzione, si dice che essa è una soluzione doppia, oppure che l’equazione ha due soluzioni coincidenti.

Per esempio, diremo che l’equazione di secondo grado

\[ x^2 -2x + 1 = 0 \]

che equivale a

\[ (x-1)^2 = 0 \]

ha una soluzione doppia, che è x = 1.

 

Risoluzione di un’equazione monomia

Un’equazione monomia è della forma

\[ ax^2 = 0 \]

Per risolvere un’equazione di questo tipo possiamo dividere entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente di x alla seconda:

\[ ax^2 = 0 \rightarrow \frac{ax^2}{a} = \frac{0}{a} \rightarrow x^2 = 0 \]

Possiamo notare, quindi che indipendentemente dal coefficiente a, l’equazione si riduce sempre alla forma

\[ x^2 = 0 \]

che implica x = 0.

Concludiamo, quindi, che l’equazione nomai di secondo grado ha sempre due soluzioni coincidenti, e che x = 0 è l’unica soluzione doppia dell’equazione.

 

Risoluzione di un’equazione pura

Le equazioni pure sono della forma

\[ ax^2 + c = 0 \]

Per risolvere questo tipo di equazione, trasportiamo il termine noto al secondo membro, e poi dividiamo entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente di x alla seconda:

\[ ax^2 + c = 0 \rightarrow ax^2 = -c \rightarrow x^2 = -\frac{c}{a} \]

A questo punto, dobbiamo distinguere due casi:

  • se a e c sono concordi, a/c è positivo, quindi, il suo opposto – a/c è negativo. Poiché un quadrato non può mai essere uguale ad un numero negativo, l’equazione è impossibile;
  • se a e c sono discordi, allora a/c è negativo, e il suo opposto – a/c è positivo. In questo caso, possiamo risolvere l’equazione trovando due radici opposte: \[ x_1 = +\sqrt{-\frac{c}{a}} \,\,\,\, \mbox{ e } \,\,\,\, x_2 = – \sqrt{-\frac{c}{a}} \]

 

Risoluzione delle equazioni spurie

Le equazioni spurie sono della forma \( ax^2 + bx = 0 \);

per risolverle, mettiamo in evidenza x al primo membro:

\( ax^2 + bx = 0 \rightarrow x(ax + b) = 0 \)

Per la legge di annullamento del prodotto, almeno uno dei due fattori deve essere zero, quindi:

\( x = 0 \vee ax + b = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = -\frac{b}{a} \)

Concludiamo, quindi, che ogni equazione spuria ha sempre due soluzioni, delle quali una è zero, e l’altra è data da – b/a:

\[ x_1 = 0 \,\,\,\, \mbox{ e } \,\,\,\, x_2 = -\frac{b}{a} \]

Le equazioni complete sono esaminate nella scheda seguente.

 

Commenti

commenti